4.1.2 直线的几种表示

💡 知识点 4.2

（1）点斜式：直线 $\ell$ 过 $(x_{0}, y_{0})$ ，且斜率为 k，则 $\ell: y - y_{0} = k(x - x_{0})$ ;

(2) 斜截式: 直线 $\ell$ 在 $y$ 轴上的截距为 $b$ , 且斜率为 $k$ , 则 $\ell: y = kx + b$ ;

(3) 截距式: 直线 $\ell$ 过 $(a,0)$ , $(0,b)$ 且 $ab \neq 0$ , 则 $\ell: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ;

$$(x _ {1}, y _ {1}), (x _ {2}, y _ {2}) (x _ {1} \neq x _ {1}, y _ {1} \neq y _ {2})$$$$\ell : \frac {y - y _ {1}}{y _ {2} - y _ {1}} = \frac {x - x _ {1}}{x _ {2} - x _ {1}}$$

(5) 一般式: $Ax + By + C = 0 (A, B$ 不同时为 0).

直线方程有五种形式, 都有约束条件. 因此, 要慎用每一种形式的直线方程. 对于任何一种求直线方程的题型, 建议同学们把最后的直线方程写成一般式, 因为高考的参考答案给出的直线方程都是一般式.

✍️ 例 4.3

一条直线经过点 $A(2,-3)$ ，并且它的倾斜角等于直线 $y=\frac{1}{2}x$ 的倾斜角的 2 倍，则这条直线的方程为 ____.

🔑 查看解析与步骤

设 $y = \frac{1}{2} x$ 的斜率为 $k_{1}$ ，倾斜角为 $\alpha$ ，则 $\tan \alpha = k_{1} = \frac{1}{2}$ ，由题意知，所求直线的倾斜角为 $2\alpha$ ，设所求直线的斜率为 $k_{2}$ ，则 $k_{2} = \tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha} = \frac{4}{3}$ ，根据直线的点斜式方程可得 $y + 3 = \frac{4}{3}(x - 2)$ ，整理可得 $4x - 3y - 17 = 0$ ，故填 $4x - 3y - 17 = 0$ .

当然也可以用斜截式来求解, 设 $y = \frac{4}{3} x + m$ , 把点 $A(2, -3)$ 代入, 可得 $m = -\frac{17}{3}$ , 则直线方程为 $y = \frac{4}{3} x - \frac{17}{3}$ . 斜截式其实就是点斜式, 只不过在初中的时候大多数人习惯了斜截式的形式.

✍️ 例 4.4

已知直线过点 $P(2,3)$ ，并且在两轴上的截距相等的直线方程为 ____.

🔑 解析 1

设直线方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ，由于截距相等，故 a = b，则 $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ ，又因为点 $P(2,3)$ 在直线上，则 $\frac{2}{a} + \frac{3}{a} = 1$ ，可得 a = b = 5，故直线方程为 $x + y - 5 = 0$ 。

解析 1 属于典型错误, 既然采用了截距式方程, 就必须充分考虑该直线方程的适用条件. 对于垂直坐标轴或经过原点的直线, 截距式方程就不适用, 因为在这种情况下截距可能为零. 接下来将提供正确的解析:

🔑 解析 2

（1）当直线与坐标轴的截距为零时，则可设直线为 y = kx，点 $P(2,3)$ 在直线上，可得 $k = \frac{3}{2}$ ，故直线方程为 $y = \frac{3}{2}x$ .

(2) 当直线与坐标轴的截距不为零时, 可设直线方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ , 由于截距相等, 故 $a = b$ , 则 $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ , 又点 $P(2,3)$ 在直线上, 则 $\frac{2}{a} + \frac{3}{a} = 1$ , 解得 $a = b = 5$ , 故直线方程为 $x + y = 5$ .

📌 标注说明

截距并不是距离, 我们把直线与坐标轴交点的横坐标 (纵坐标) 叫作直线在坐标轴上的截距. 截距可以为正数也可为负数, 还可以为零.

🎯 变式 4.4.1

已知直线 $\ell$ 过点 $P(1,4)$ ，分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于 A, B 两点，O 为坐标原点，当 $|OA| + |OB|$ 最小时，求 $\ell$ 的方程.

对于一般式 $Ax + By + C = 0(A, B$ 不同时为 0), 它的优点是可以表示任意一条直线, 它的缺点是几何特征不明显, 比如斜率、与坐标轴的交点等, 为了寻找它的几何特征, 我们一般将直线的一般式作如下转化:

(1) 当 $B = 0$ 时, 直线可化为 $x = -\frac{C}{A}$ , 其无斜率, 倾斜角为 $90^{\circ}$ ;

(2) 当 $B \neq 0$ 时, 直线可化为 $y = -\frac{A}{B} x - \frac{C}{B}$ , 其斜率为 $-\frac{A}{B}$ , 与 $y$ 轴的截距为 $-\frac{C}{B}$ .

✍️ 例 4.5

(2023 福州统考-多选题) 下列结论正确的有（）.

A. 如果 $AC < 0$ , $BC < 0$ , 那么直线 $Ax + By + C = 0$ 不经过第三象限

B. 若直线 $\ell : (a + 1)x + y + 2 - a = 0$ 在两坐标轴上的截距相等, 则 $a = 0$ 或 $a = 2$

C. 直线 $3x + 4y + 2 = 0$ 的倾斜角为 $\theta$ , 则 $\sin \theta = \frac{4}{5}$

D. 直线 $\ell: (a^2 + 2a)x - \sqrt{3}y - 3 = 0$ 的倾斜角的取值范围为 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\frac{5\pi}{6}, \pi\right)$

🔑 查看解析与步骤

选项 A, 由 BC < 0 可知 $B \neq 0$ , 直线 $Ax + By + C = 0$ 可化为 $y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$ . 因为 AC < 0, BC < 0, 所以 A 与 B 符号相同, 因此直线的斜率 $k = -\frac{A}{B} < 0$ , 在 y 轴上的截距 $b = -\frac{C}{B} > 0$ , 即直线 $Ax + By + C = 0$ 不经过第三象限, 故 A 正确.

选项B, 由 $(a + 1)x + y + 2 - a = 0$ 可得 $(a + 1)x + y = a - 2$ . 当 $a - 2 = 0$ 时, 即 $a = 2$ , 直线 $\ell$ 为 $3x + y = 0$ . 当 $a - 2 \neq 0$ 时, 可得 $\frac{a + 1}{a - 2} x + \frac{1}{a - 2} y = 1$ , 由于直线 $\ell$ 在两坐标轴上的截距相等, 故 $\frac{a + 1}{a - 2} = \frac{1}{a - 2}$ , 解得 $a = 0$ , 直线 $\ell$ 为 $x + y + 2 = 0$ , 所以 $a = 0$ 或 $a = 2$ , 故 B 正确.

选项C, 由 $3x + 4y + 2 = 0$ 可得 $y = -\frac{3}{4} x - \frac{1}{2}$ , 从而 $k = \tan \theta = -\frac{3}{4}$ , 故 $\theta$ 为钝角, 则 $\sin \theta > 0$ , $\cos \theta < 0$ . 由 $\left\{ \begin{array}{l} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \\ \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{3}{4} \end{array} \right.$ , 可知 $\sin \theta = \frac{3}{5}$ , 故 C 错误.

选项D, 由直线 $\ell: (a^2 + 2a)x - \sqrt{3}y - 3 = 0$ , 可得 $y = \frac{a^2 + 2a}{\sqrt{3}}x - \sqrt{3}$ , 所以 $k = \frac{\sqrt{3}}{3}(a^2 + 2a) = \frac{\sqrt{3}}{3}[(a + 1)^2 - 1] \geqslant -\frac{\sqrt{3}}{3}$ . 设直线的倾斜角为 $\alpha$ , 则 $\tan \alpha \geqslant -\frac{\sqrt{3}}{3}$ . 因为 $\alpha \in [0, \pi)$ , 所以 $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2})$ 或 $\alpha \in [\frac{5\pi}{6}, \pi)$ , 即直线 $\ell$ 的倾斜角取值范围为 $[0, \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{5\pi}{6}, \pi)$ , 故 D 正确.

综上所述, 选 ABD.

🎯 变式 4.5.1

(2022 浙江模考-多选题) 直线 $(36a^{2}+3)x-36ay+1=0$ 的倾斜角可能是 ( ). A. 0 B. $\frac{\pi}{3}$ C. $\frac{2\pi}{3}$ D. $\frac{5\pi}{6}$