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3.6.2 圆的向量表示

💡 知识点 3.11

若 ∣a−a0∣=r,a0\left|a-a_{0}\right|=r, a_{0} 是确定的, 如果将不共线的 a, a0a_{0} 平移成共起点, 则 a 的终点轨迹是以 a0a_{0} 的终点为圆心, 半径为 r 的圆.

✍️ 例 3.70

（2013 湖南理 6）已知 a, b 是单位向量, a⋅b=0a \cdot b = 0 . 若向量 c 满足 ∣c−a−b∣=1|c - a - b| = 1 , 则 ∣c∣|c| 的取值范围是 ( ). A. [2−1,2+1][\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 1] B. [2−1,2+2][\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 2] C. [1,2+1][1, \sqrt{2} + 1] D. [1,2+2][1, \sqrt{2} + 2]

🔑 解析 1

向量问题首选建系, 本例特征很明显, 由已知 a, b 是单位向量, a⋅b=0a \cdot b = 0 , 把向量 a, b 固定在坐标轴上, 为了便于理解与叙述, 故令 a=OA→a = \overrightarrow{OA} , b=OB→b = \overrightarrow{OB} , c=OC→c = \overrightarrow{OC} . 因为 OA→⊥OB→\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB} , 故以 O 为原点, 分别以 OA→\overrightarrow{OA} , OB→\overrightarrow{OB} 方向为 x, y 轴, 建立如图 3-66 所示的平面直角坐标系, 则 A(1,0)A(1,0) , B(0,1)B(0,1) . 设 C(x,y)C(x,y) , 则

∣OC→−OA→−OB→∣=1⇒∣(x,y)−(1,0)−(0,1)∣=1⇒(x−1)2+(y−1)2=1.| \overrightarrow {O C} - \overrightarrow {O A} - \overrightarrow {O B} | = 1 \Rightarrow | (x, y) - (1, 0) - (0, 1) | = 1 \Rightarrow (x - 1) ^ {2} + (y - 1) ^ {2} = 1.

因为 ∣OC→∣|\overrightarrow{OC}| 表示原点到圆 EE 上点的距离, 注意到 OO 在圆外, 所以 ∣OC→∣|\overrightarrow{OC}| 的最大值为 OO 到圆心的距离加上圆的半径, 为 ∣OE∣+r=12+12+1|OE| + r = \sqrt{1^2 + 1^2} + 1 . 而 ∣OC→∣|\overrightarrow{OC}| 的最小值为 OO 到圆心的距离减去圆的半径, 为 ∣OE∣−r=12+12−1|OE| - r = \sqrt{1^2 + 1^2} - 1 , 所以 ∣c∣|c| 的取值范围是 [2−1,2+1][\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 1] , 故选 A.

例3.70通过建系得到点 CC 的轨迹方程, 这是建系最大的优势, 选择建系可以把动点的运动轨迹方程确定. 当然我们也可以直接考虑其几何意义, 下面见解析2:

🔑 解析 2

令 a=OA→,b=OB→,c=OC→,a+b=OD→a = \overrightarrow{OA}, b = \overrightarrow{OB}, c = \overrightarrow{OC}, a + b = \overrightarrow{OD} ，如图 3-67 所示。由 ∣c−a−b∣=1|c - a - b| = 1 ，得 ∣OC→−OD→∣=∣DC→∣=1|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD}| = |\overrightarrow{DC}| = 1 ，所以动点 C 在以 D 为圆心，1 为半径的圆上。

当 C 运动到 C1C_{1} 时, ∣c∣|c| 取得最大值, 且最大值为 ∣OC1→∣=∣OD→∣+DC1=2+1;|\overrightarrow{OC_{1}}| = |\overrightarrow{OD}| + DC_{1} = \sqrt{2} + 1;

当 CC 运动到 C2C_2 时， ∣c∣|c| 取得最小值，且最小值为 ∣OC→2∣=∣OD→∣−DC1=2−1.|\overrightarrow{OC}_2| = |\overrightarrow{OD}| - DC_1 = \sqrt{2} - 1. 故选A.


图3-66


图3-67

对于大多数同学来说, 解例3.70更加倾向于使用解析 1, 因为解析 1 具有明显的代数特征, 而解析 2 相对来说较为抽象. 因此, 在方便建系时, 我们需要考虑使用建系法. 对于后面的例子和变式, 如果建系方便且运算量不大, 我们应该优先考虑建系法. 然而, 如果建系较为困难, 我们可以考虑采用几何意义来解决问题.

当然, 我们更希望同学们能够同时尝试使用建系和几何意义这两种思路. 这样可以提升解题的灵活性, 让同学们在不同类型的问题中都能找到最优解的方法.

✍️ 例 3.71

(2018 浙江 9) 已知 a, b, e 是平面向量, e 是单位向量. 若非零向量 a 与 e 的夹角为 π3\frac{\pi}{3} ，向量 b 满足 b2−4e⋅b+3=0b^{2}-4e\cdot b+3=0 ，则 ∣a−b∣|a-b| 的最小值是（）. A. 3−1\sqrt{3}-1 B. 3+1\sqrt{3}+1 C. 2 D. 2−32-\sqrt{3}

🔑 查看解析与步骤

令 a=OA→,b=OB→,e=OE1→,2e=OE2→a=\overrightarrow{OA}, b=\overrightarrow{OB}, e=\overrightarrow{OE_{1}}, 2e=\overrightarrow{OE_{2}} . 把 e 的坐标固定在坐标轴上, 令 e=OE1→=(1,0)e=\overrightarrow{OE_{1}}=(1,0) , 点 A 的坐标设为 (x,y)(x,y) , 因为 a 与 e 的夹角为 π3\frac{\pi}{3} , 所以 A 在射线 ℓ:y=3x(x>0)\ell:y=\sqrt{3}x(x>0) 上. 同样假设 b=OB→=(x,y)\boldsymbol{b}=\overrightarrow{OB}=(x,y) , 由 b2−4e⋅b+3=0b^{2}-4e\cdot b+3=0 , 可得 (x−2)2+y2=1(x-2)^{2}+y^{2}=1 , 所以点 B 在以 E2(2,0)E_{2}(2,0) 为圆心, 1 为半径的圆上. 因为 ∣a−b∣=∣OA→−OB→∣=∣BA→∣|a-b|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{BA}| , 所以 ∣a−b∣|a-b| 可以理解为圆上一点与射线 ℓ\ell 上一点的连线的距离.


图3-68

因为 E2E_{2} 到 ℓ\ell 的距离 d=∣0−23∣1+3=3d = \frac{|0 - 2\sqrt{3}|}{\sqrt{1 + 3}} = \sqrt{3} , 所以 ∣BA→∣min⁡=d−1=3−1|\overrightarrow{BA}|_{\min} = d - 1 = \sqrt{3} - 1 . 图像如图3-68所示, 故选A.

在圆的性质之中, 率先想到的莫过于直径所对的圆周角为直角, 而向量的数量积恰恰是角度最好的体现, 则有如下知识点:

💡 知识点 3.12

若 (a−b)⋅(a−c)=0(b,c(a-b)\cdot(a-c)=0(b,c 是确定的)，如果将不共线的 a, b, c 平移成共起点，则 a 的终点轨迹是以 b, c 的终点连线为直径的圆.

✍️ 例 3.72

（2008 浙江理 9）已知 a, b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足 (a−c)⋅(b−c)=0(a - c) \cdot (b - c) = 0 ，则 ∣c∣|c| 的最大值是（）.

A. 1 B. 2 C. 2\sqrt{2} D. 22\frac{\sqrt{2}}{2}

🔑 查看解析与步骤

如图3-69所示, 令 a=OA→,b=OB→,c=OC→a = \overrightarrow{OA}, b = \overrightarrow{OB}, c = \overrightarrow{OC} , 则 a−c=CA→,b−c=CB→a - c = \overrightarrow{CA}, b - c = \overrightarrow{CB} , 由已知得 CA→⋅CB→=0\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0 , 即点 CC 在以 ABAB 为直径的圆上. 因为 OO 在圆上, 所以当 OCOC 为它的直径, 即 CC 与 C1C_1 重合时, ∣c∣|c| 最大, 且最大值为 2\sqrt{2} . 故选 C.

✍️ 例 3.73

(2011 辽宁 10) 若 a, b, c 均为单位向量, 且 a⋅b=0,(a−c)⋅(b−c)⩽0a \cdot b = 0, (a - c) \cdot (b - c) \leqslant 0 , 则 ∣a+b−c∣|a + b - c| 的最大值为 ( ).

A. 2−1\sqrt{2} - 1 B. 1

C. 2\sqrt{2} D. 2

🔑 查看解析与步骤

如图3-70所示, 令 a=OA→,b=OB→,c=OC→a = \overrightarrow{OA}, b = \overrightarrow{OB}, c = \overrightarrow{OC} , 则 a−c=CA→,b−c=CB→a - c = \overrightarrow{CA}, b - c = \overrightarrow{CB} , 由已知得 CA→⋅CB→⩽0\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} \leqslant 0 , 于是点 CC 在以 ABAB 为直径的圆内或圆上. 又因为 ∣c∣=1|c| = 1 , 所以 CC 点只能在以 OO 为圆心的 AB^\widehat{AB} 上移动. 令 a+b=OD→a + b = \overrightarrow{OD} , 则 a+b−c=OD→−OC→=CD→a + b - c = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CD} , 由于 DD 为定点, 故显然当 CC 与 AA 或 BB 重合时, ∣CD→∣|\overrightarrow{CD}| 取得最大值为1, 即 ∣a+b−c∣|a + b - c| 的最大值为1. 故选B.


图3-69


图3-70

🎯 变式 3.73.1

(2009 全国 I 理 6) 设 a, b, c 是单位向量, 且 a⋅b=0a \cdot b = 0 , 则 (a−c)⋅(b−c)(a - c) \cdot (b - c) 的最小值为 ( ).

A. -2 B. 2−2\sqrt{2} - 2 C. -1 D. 1−21 - \sqrt{2}

在遇到以线段长为直径的圆的时候, 我们要做的就是转化圆上的点与线段的两端点所构成的数量积为零. 但我们都知道直径是特殊的弦长, 由特殊性必然可以推广到一般性, 以线段长为直径的圆的向量形式为 (c−a)(c−b)=0(c - a)(c - b) = 0 . 这是以 ∣a−b∣|a - b| 为直径的圆. 正是由于角度的特殊性, 可以通过数量积体现出直角, 若不是直角则数量积就没有一般性了, 因此我们把以线段长为直径的圆的向量式一般化就可以得到 ⟨c−a,c−b⟩=90∘\langle c - a, c - b \rangle = 90^{\circ} , 其中 ∣a−b∣|a - b| 为定值. 由此得到更一般的形式:

💡 知识点 3.13

若 ⟨c−a,c−b⟩=θ\langle c-a, c-b\rangle = \theta ，且 a, b 是确定的，如果将不共线的 a, b, c 平移成共起点，则 c 的终点的轨迹是圆，其直径为 ∣a−b∣sin⁡θ\frac{|a-b|}{\sin\theta} .

✍️ 例 3.74

（2011 全国理 12）设 a, b, c 满足 ∣a∣=∣b∣=1|a| = |b| = 1 , a⋅b=−12a \cdot b = -\frac{1}{2} , ⟨a−c,b−c⟩=60∘\langle a - c, b - c \rangle = 60^\circ , 则 ∣c∣|c| 的最大值等于 ( ).

A. 2 B. 3\sqrt{3} C. 2\sqrt{2} D. 1

🔑 查看解析与步骤

如图3-71所示, 令 a=OA→,b=OB→,c=OC→a = \overrightarrow{OA}, b = \overrightarrow{OB}, c = \overrightarrow{OC} , 则 a−c=OA→−OC→=CA→,b−c=OB→−OC→=CB→a - c = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CA}, b - c = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CB} , 故由 ⟨a−c,b−c⟩=60∘\langle a - c, b - c \rangle = 60^\circ , 得 ∠ACB=60∘\angle ACB = 60^\circ . 因为 a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡∠AOB=−12a \cdot b = |a||b|\cos \angle AOB = -\frac{1}{2} , 且 ∣a∣=∣b∣=1|a| = |b| = 1 , 则 cos⁡∠AOB=−12\cos \angle AOB = -\frac{1}{2} , 即 ∠AOB=120∘\angle AOB = 120^\circ . 因为 ∠AOB+∠ACB=180∘\angle AOB + \angle ACB = 180^\circ , 所以 A,O,B,CA, O, B, C 四点共圆, 且 △AOB\triangle AOB 为等腰三角形, 从而 ∠OAB=30∘\angle OAB = 30^\circ , 由正弦定理得圆的直径为 2R=OBsin⁡∠OAB=22R = \frac{OB}{\sin \angle OAB} = 2 . 因为 OO 在圆上, 所以当 OC→\overrightarrow{OC} 为圆的直径时, ∣c∣|c| 取得最大值为2. 故选A.


图3-71

🎯 变式 3.74.1

已知平面向量 a, b 满足 ∣a∣=34\left|a\right|=\frac{\sqrt{3}}{4} , b=e1+λe2(λ∈R)b=e_{1}+\lambda e_{2}(\lambda\in\mathbb{R}) ，其中 e1,e2e_{1}, e_{2} 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量 a, b 恒有 ∣a−b∣⩾34\left|a-b\right|\geqslant\frac{\sqrt{3}}{4} ，则 e1,e2e_{1}, e_{2} 夹角的最小值为（）. A. π6\frac{\pi}{6} B. π3\frac{\pi}{3} C. 2π3\frac{2\pi}{3} D. 5π6\frac{5\pi}{6}