3.6.2 圆的向量表示

知识点 3.11

若 $\left|a-a_0\right|=r,a_0$ 是确定的，如果将不共线的 $a$, $a_0$ 平移成共起点，则 $a$ 的终点轨迹是以 $a_0$ 的终点为圆心，半径为 $r$ 的圆．

例 3.70

（2013 湖南理 6）已知 $a$, $b$ 是单位向量，$a\cdot b=0$．若向量 $c$ 满足 $|c-a-b|=1$，则 $|c|$ 的取值范围是 ( ). A. $[\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1]$ B. $[\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+2]$ C. $[1,\sqrt{2}+1]$ D. $[1,\sqrt{2}+2]$

解析 1

向量问题首选建系，本例特征很明显，由已知 $a$, $b$ 是单位向量，$a\cdot b=0$，把向量 $a$, $b$ 固定在坐标轴上，为了便于理解与叙述，故令 $a=\overrightarrow{OA}$ , $b=\overrightarrow{OB}$ , $c=\overrightarrow{OC}$．因为 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$，故以 $O$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ 方向为 $x$, $y$ 轴，建立如图 3-66 所示的平面直角坐标系，则 $A(1,0)$ , $B(0,1)$．设 $C(x,y)$，则

| overrightarrow O C - overrightarrow O A - overrightarrow O B | = 1 ⇒ | (x, y) - (1, 0) - (0, 1) | = 1 ⇒ (x - 1) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 = 1.$$|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|=1\Rightarrow |(x,y)-(1,0)-(0,1)|=1\Rightarrow (x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1.$$

因为 $|\overrightarrow{OC}|$ 表示原点到圆 $E$ 上点的距离，注意到 $O$ 在圆外，所以 $|\overrightarrow{OC}|$ 的最大值为 $O$ 到圆心的距离加上圆的半径，为 $|OE|+r=\sqrt{1^2+1^2}+1$．而 $|\overrightarrow{OC}|$ 的最小值为 $O$ 到圆心的距离减去圆的半径，为 $|OE|-r=\sqrt{1^2+1^2}-1$，所以 $|c|$ 的取值范围是 $[\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1]$，故选 $A$.

例3.70通过建系得到点 的轨迹方程，这是建系最大的优势，选择建系可以把动点的运动轨迹方程确定．当然我们也可以直接考虑其几何意义，下面见解析2: 的轨迹方程，这是建系最大的优势，选择建系可以把动点的运动轨迹方程确定．当然我们也可以直接考虑其几何意义，下面见解析2:

解析 2

令 $a=\overrightarrow{OA},b=\overrightarrow{OB},c=\overrightarrow{OC},a+b=\overrightarrow{OD}$ ，如图 3-67 所示。由 $|c-a-b|=1$ ，得 $|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}|=|\overrightarrow{DC}|=1$ ，所以动点 $C$ 在以 $D$ 为圆心，1 为半径的圆上。

当 $C$ 运动到 $C_1$ 时，$|c|$ 取得最大值，且最大值为 $|\overrightarrow{O{C}_1}|=|\overrightarrow{OD}|+D{C}_1=\sqrt{2}+1;$

当 $C$ 运动到 $C_2$ 时， $|c|$ 取得最小值，且最小值为 $|{\overrightarrow{OC}}_2|=|\overrightarrow{OD}|-D{C}_1=\sqrt{2}-1.$ 故选$A$.

图3-66

图3-67

对于大多数同学来说，解例3.70更加倾向于使用解析1, 因为解析1 具有明显的代数特征，而解析2 相对来说较为抽象．因此，在方便建系时，我们需要考虑使用建系法．对于后面的例子和变式，如果建系方便且运算量不大，我们应该优先考虑建系法．然而，如果建系较为困难，我们可以考虑采用几何意义来解决问题．

当然，我们更希望同学们能够同时尝试使用建系和几何意义这两种思路．这样可以提升解题的灵活性，让同学们在不同类型的问题中都能找到最优解的方法．

例 3.71

(2018 浙江 9) 已知 $a$, $b$, $e$ 是平面向量，$e$ 是单位向量．若非零向量 $a$ 与 $e$ 的夹角为 $\frac{\pi }{3}$ ，向量 $b$ 满足 $b^2-4e\cdot b+3=0$ ，则 $|a-b|$ 的最小值是（）. A. $\sqrt{3}-1$ B. $\sqrt{3}+1$ C. 2 D. $2-\sqrt{3}$

查看解析与步骤

令 $a=\overrightarrow{OA},b=\overrightarrow{OB},e=\overrightarrow{O{E}_1},2e=\overrightarrow{O{E}_2}$．把 $e$ 的坐标固定在坐标轴上，令 $e=\overrightarrow{O{E}_1}=(1,0)$，点 $A$ 的坐标设为 $(x,y)$，因为 $a$ 与 $e$ 的夹角为 $\frac{\pi }{3}$，所以 $A$ 在射线 $\ell :y=\sqrt{3}x(x>0)$ 上．同样假设 $\mathbf{b}=\overrightarrow{OB}=(x,y)$，由 $b^2-4e\cdot b+3=0$，可得 $(x-2{)}^2+y^2=1$，所以点 $B$ 在以 $E_2(2,0)$ 为圆心， 1 为半径的圆上．因为 $|a-b|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{BA}|$，所以 $|a-b|$ 可以理解为圆上一点与射线 $\ell$ 上一点的连线的距离．

图3-68

因为 $E_2$ 到 $\ell$ 的距离 $d=\frac{|0-2\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}}=\sqrt{3}$，所以 $|\overrightarrow{BA}{|}_{\min }=d-1=\sqrt{3}-1$．图像如图 3-68所示，故选$A$.

在圆的性质之中，率先想到的莫过于直径所对的圆周角为直角，而向量的数量积恰恰是角度最好的体现，则有如下知识点:

知识点 3.12

若 $(a-b)\cdot (a-c)=0(b,c$ 是确定的)，如果将不共线的 $a$, $b$, $c$ 平移成共起点，则 $a$ 的终点轨迹是以 $b$, $c$ 的终点连线为直径的圆．

例 3.72

（2008 浙江理 9）已知 $a$, $b$ 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 $c$ 满足 $(a-c)\cdot (b-c)=0$ ，则 $|c|$ 的最大值是（）.

A. 1 B. 2 C. $\sqrt{2}$ D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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如图 3-69所示，令 $a=\overrightarrow{OA},b=\overrightarrow{OB},c=\overrightarrow{OC}$，则 $a-c=\overrightarrow{CA},b-c=\overrightarrow{CB}$，由已知得 $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0$，即点 $C$ 在以 $AB$ 为直径的圆上．因为 $O$ 在圆上，所以当 $OC$ 为它的直径，即 $C$ 与 $C_1$ 重合时，$|c|$ 最大，且最大值为 $\sqrt{2}$．故选 $C$.

例 3.73

(2011 辽宁 10) 若 $a$, $b$, $c$ 均为单位向量，且 $a\cdot b=0,(a-c)\cdot (b-c)⩽0$，则 $|a+b-c|$ 的最大值为 ( ).

A. $\sqrt{2}-1$ B. 1

C. $\sqrt{2}$ D. 2

查看解析与步骤

如图 3-70所示，令 $a=\overrightarrow{OA},b=\overrightarrow{OB},c=\overrightarrow{OC}$，则 $a-c=\overrightarrow{CA},b-c=\overrightarrow{CB}$，由已知得 $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}⩽0$，于是点 $C$ 在以 $AB$ 为直径的圆内或圆上．又因为 $|c|=1$，所以 $C$ 点只能在以 $O$ 为圆心的 $\widehat{AB}$ 上移动．令 $a+b=\overrightarrow{OD}$，则 $a+b-c=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CD}$，由于 $D$ 为定点，故显然当 $C$ 与 $A$ 或 $B$ 重合时，$|\overrightarrow{CD}|$ 取得最大值为1, 即 $|a+b-c|$ 的最大值为1. 故选$B$.

图3-69

图3-70

变式 3.73.1

(2009 全国 $I$ 理 6) 设 $a$, $b$, $c$ 是单位向量，且 $a\cdot b=0$，则 $(a-c)\cdot (b-c)$ 的最小值为 ( ).

A. -2 B. $\sqrt{2}-2$ C. -1 D. $1-\sqrt{2}$

在遇到以线段长为直径的圆的时候，我们要做的就是转化圆上的点与线段的两端点所构成的数量积为零．但我们都知道直径是特殊的弦长，由特殊性必然可以推广到一般性，以线段长为直径的圆的向量形式为 $(c-a)(c-b)=0$．这是以 $|a-b|$ 为直径的圆．正是由于角度的特殊性，可以通过数量积体现出直角，若不是直角则数量积就没有一般性了，因此我们把以线段长为直径的圆的向量式一般化就可以得到 $⟨c-a,c-b⟩=90^{\circ }$，其中 $|a-b|$ 为定值．由此得到更一般的形式:

知识点 3.13

若 $⟨c-a,c-b⟩=\theta$ ，且 $a$, $b$ 是确定的，如果将不共线的 $a$, $b$, $c$ 平移成共起点，则 $c$ 的终点的轨迹是圆，其直径为 $\frac{|a-b|}{\sin \theta }$ .

例 3.74

（2011 全国理 12）设 $a$, $b$, $c$ 满足 $|a|=|b|=1$ , $a\cdot b=-\frac{1}{2}$ , $⟨a-c,b-c⟩=60^{\circ }$，则 $|c|$ 的最大值等于 ( ).

A. 2 B. $\sqrt{3}$ C. $\sqrt{2}$ D. 1

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如图 3-71所示，令 $a=\overrightarrow{OA},b=\overrightarrow{OB},c=\overrightarrow{OC}$，则 $a-c=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CA},b-c=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}$，故由 $⟨a-c,b-c⟩=60^{\circ }$，得 $\angle ACB=60^{\circ }$．因为 $a\cdot b=|a||b|\cos \angle AOB=-\frac{1}{2}$，且 $|a|=|b|=1$，则 $\cos \angle AOB=-\frac{1}{2}$，即 $\angle AOB=120^{\circ }$．因为 $\angle AOB+\angle ACB=180^{\circ }$，所以 $A,O,B,C$ 四点共圆，且 $△AOB$ 为等腰三角形，从而 $\angle OAB=30^{\circ }$，由正弦定理得圆的直径为 $2R=\frac{OB}{\sin \angle OAB}=2$．因为 $O$ 在圆上，所以当 $\overrightarrow{OC}$ 为圆的直径时，$|c|$ 取得最大值为2. 故选$A$.

图3-71

变式 3.74.1

已知平面向量 $a$, $b$ 满足 $\left|a\right|=\frac{\sqrt{3}}{4}$ , $b=e_1+\lambda e_2(\lambda \in \mathbb{R})$ ，其中 $e_1,e_2$ 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量 $a$, $b$ 恒有 $\left|a-b\right|⩾\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则 $e_1,e_2$ 夹角的最小值为（）. A. $\frac{\pi }{6}$ B. $\frac{\pi }{3}$ C. $\frac{2\pi }{3}$ D. $\frac{5\pi }{6}$