Skip to content
MinerU + Astro

3.6.1 平行线的向量表示

下面我们来了解一种常见的几何问题, 即与平行线的最值问题有关的问题. 对于形如 ta±bta \pm b 的向量表达式, 通过图形辅助解题, 往往比使用代数方法简单得多.

💡 知识点 3.10

将不共线的向量 a, b, c 平移成共起点 O，设它们的终点依次为 A, B, C. (1) 若 c=ta+bc = ta + b ，则 C 的轨迹是一条直线，且这条直线与 a 平行并且 B 落在该直线上. (2) 若 c=ta−bc = ta - b ，则 C 的轨迹是一条直线，且这条直线与 a 平行并且 B′B' 落在该直线上，这里 B′B' 是 B 关于 O 的对称点.

🔑 查看解析与步骤

令 a=OA→,b=OB→,c=OC→,−b=OB′→a = \overrightarrow{OA}, b = \overrightarrow{OB}, c = \overrightarrow{OC}, -b = \overrightarrow{OB'} ，则

(1) 如图 3-57 所示, 由 c=b+tac = b + ta , 得 OC→=OB→+tOA→\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OA} , 故 OC→−OB→=tOA→\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = t\overrightarrow{OA} , 所以 CC 的轨迹是一条直线, 且这条直线与 aa 平行并且 BB 落在该直线上.

(2) 如图 3-58 所示, 由 c=−b+tac = -b + ta , 得 OC→=OB′→+tOA→\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB'} + t\overrightarrow{OA} , 故 OC→−OB′→=tOA→\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB'} = t\overrightarrow{OA} , 所以 CC 的轨迹是一条直线, 且这条直线与 aa 平行并且 B′B' 落在该直线上, 这里 B′B' 是 BB 关于 OO 的对称点.


图3-57


图3-58

由知识点3.10可知, CC 在直线 BCBC (见图3-57) 或直线 B′CB'C (见图3-58) 上运动时, 如果 OC⊥BCOC \perp BC 或 OC⊥B′COC \perp B'C , 那么线段 OCOC 取到最小值, 即 ∣ta±b∣|ta \pm b| 取得最小值. 现总结如下:

我们也可以利用函数的最值思想来推导上述结论. 以 ∣ta+b∣|ta + b| 的最小值为例作说明, ∣ta+b∣|ta + b| 的情形可类似得到. 设 f(t)=∣ta+b∣2f(t) = |ta + b|^2 , 利用向量模长的公式可得

f(t)=(ta+b)⋅(ta+b)=∣a∣2t2+(2a⋅b)t+∣b∣2.f (t) = (t \boldsymbol {a} + \boldsymbol {b}) \cdot (t \boldsymbol {a} + \boldsymbol {b}) = | \boldsymbol {a} | ^ {2} t ^ {2} + (2 \boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b}) t + | \boldsymbol {b} | ^ {2}.

显然, f(t)f(t) 是关于 tt 的二次函数且 t∈Rt \in \mathbb{R} , 因此其最值在对称轴处取得, 即 t=−a⋅b∣a∣2t = -\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|^2} . 进一步化简可得 (ta+b)⋅a=0(ta + b) \cdot a = 0 , 即 (ta+b)⊥a(ta + b) \perp a , 则 ∣ta+b∣|ta + b| 的最小值在 (ta+b)⊥a(ta + b) \perp a 处取得.

✍️ 例 3.67

已知向量 a≠e,∣e∣=1a \neq e, |e| = 1 ，对任意 t∈Rt \in R ，恒有 ∣a−te∣⩾∣a−e∣|a - te| \geqslant |a - e| ，则（）. A. a⊥ea \perp e B. a⊥(a−e)a \perp (a - e) C. e⊥(a−e)e \perp (a - e) D. (a+e)⊥(a−e)(a + e) \perp (a - e)

🔑 解析 1

因为对任意 t∈Rt \in R ，恒有 ∣a−te∣⩾∣a−e∣|a - te| \geqslant |a - e| ，所以 ∣a−te∣|a - te| 最小值为 ∣a−e∣|a - e| .

令 e=OA→,a=OB→,a−te=OC→e = \overrightarrow{OA}, a = \overrightarrow{OB}, a - te = \overrightarrow{OC} , 由知识点3.10可知 BC//OABC / / OA , 过 OO 作 OD⊥BCOD \perp BC , 垂足为 DD , 则当 CC 在直线 BCBC 上运动时, ∣OC∣|OC| 取得最小值 ∣OD∣|OD| , 如图3-59所示, 此时 OD→=a−e\overrightarrow{OD} = a - e , 所以 e⊥(a−e)e \perp (a - e) . 故选 C.

🔑 解析 2

因为向量 a≠e,∣e∣=1a \neq e, |e| = 1 ，对任意 t∈R,∣a−te∣⩾∣a−e∣t \in R, |a - te| \geqslant |a - e| ，图 3-59

所以对不等式两边同时平方, 化简整理可得 t2−2aet+2ae−1⩾0t^2 - 2aet + 2ae - 1 \geqslant 0 对任意 t∈Rt \in \mathbb{R} 都成立. 于是

Δ=4(a⋅e)2−4(2a⋅e−1)⩽0⇒(a⋅e−1)2⩽0⇒a⋅e=1.\Delta = 4 (\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {e}) ^ {2} - 4 (2 \boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {e} - 1) \leqslant 0 \Rightarrow (\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {e} - 1) ^ {2} \leqslant 0 \Rightarrow \boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {e} = 1.

根据选项, 可知 C 选项中, 因为 e⊥(a−e)e \perp (a - e) , 所以 e⋅(a−e)=0e \cdot (a - e) = 0 , 即为 a⋅e=1a \cdot e = 1 , 故选 C.

✍️ 例 3.68

(2014 浙江文 9) 设 θ\theta 为两个非零向量 a,ba, b 的夹角, 已知对任意实数 tt , ∣b+ta∣|b + ta| 的最小值为 1 , 则 ( ).

A. 若 θ\theta 确定, 则 ∣a∣|a| 唯一确定 B. 若 θ\theta 确定, 则 ∣b∣|b| 唯一确定 C. 若 ∣a∣|a| 确定, 则 θ\theta 唯一确定 D. 若 ∣b∣|b| 确定, 则 θ\theta 唯一确定

🔑 解析 1

令 a=OA→,b=OB→,c=OC→a = \overrightarrow{OA}, b = \overrightarrow{OB}, c = \overrightarrow{OC} ，如图 3-60 所示， OC→=c=b+ta=OB→+tOA→\overrightarrow{OC} = c = b + ta = \overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OA} ，即 BC→=tOA→\overrightarrow{BC} = t\overrightarrow{OA} ，所以 C 点的轨迹为过 B 且与 OA 平行的直线。当 C 与 C1C_{1} 重合时， ∣b+ta∣|b + ta| 取得最小值为 ∣OC1→∣=1|\overrightarrow{OC_{1}}| = 1 。

选项 A, 如图 3-60 所示, 在 Rt△OC₁B 中, tan⁡∠OBC1=∣OC1→∣∣BC1→∣\tan\angle OBC_{1}=\frac{|\overrightarrow{OC_{1}}|}{|\overrightarrow{BC_{1}}|} , 则 tan⁡θ=1∣t∣∣a∣\tan\theta=\frac{1}{|t||a|} , 即 ∣a∣=1∣t∣tan⁡θ|a|=\frac{1}{|t|\tan\theta} , 当 θ\theta 确定时, 若 ∣t∣|t| 取不同的值, 得到的 ∣a∣|a| 不唯一, 因此 A 错误.

选项 B, 如图 3-61 所示, 在 Rt△OC₁B 中, sin⁡∠OBC1=∣OC1→∣∣OB→∣\sin\angle OBC_{1}=\frac{|\overrightarrow{OC_{1}}|}{|\overrightarrow{OB}|} , 则 ∣OB→∣=∣OC1→∣sin⁡∠OBC1|\overrightarrow{OB}|=\frac{|\overrightarrow{OC_{1}}|}{\sin\angle OBC_{1}} , 即 ∣b∣=1sin⁡θ|b|=\frac{1}{\sin\theta} , 可知当 θ\theta 确定时, ∣b∣|b| 是定值, 因此 B 正确.

选项 C, 如图 3-62 所示, 在 Rt△OC₁B 中, tan⁡∠OBC1=∣OC1→∣∣BC1→∣\tan\angle OBC_{1}=\frac{|\overrightarrow{OC_{1}}|}{|\overrightarrow{BC_{1}}|} , 即 tan⁡θ=1∣t∣∣a∣\tan\theta=\frac{1}{|t||a|} , 可知当 ∣a∣|a| 确定时, 若 ∣t∣|t| 取不同的值, θ\theta 不是唯一确定的, 因此 C 错误.

选项 D, 如图 3-63 所示, 在 Rt△OC₁B 中, sin⁡∠OBC1=∣OC1→∣∣OB→∣\sin\angle OBC_{1}=\frac{|\overrightarrow{OC_{1}}|}{|\overrightarrow{OB}|} , 即 sin⁡θ=1∣b∣\sin\theta=\frac{1}{|b|} , θ\theta 可能是锐角或钝角, 因此 D 错误.

故选 B.

你的非排 ？平面几何与三角函数(第二版)


图3-60


图3-61


图3-62


图3-63

🔑 解析 2

令 f(t)=∣b+ta∣2f(t)=|b+ta|^{2} ，则 f(t)=a2t2+2∣a∣∣b∣cos⁡θt+b2f(t)=a^{2}t^{2}+2|a||b|\cos\theta t+b^{2} ，由于 ∣a∣≠0|a|\neq0 ，所以 f(t)f(t) 是关于 t 的二次函数，对称轴为 t=−∣b∣cos⁡θ∣a∣t=-\frac{|b|\cos\theta}{|a|} ，所以 f(t)min⁡=f(−∣b∣cos⁡θ∣a∣)=1f(t)_{\min}=f\left(-\frac{|b|\cos\theta}{|a|}\right)=1 ，即为

f(−∣b∣cos⁡θ∣a∣)=a2⋅(−∣b∣cos⁡θ∣a∣)2+2∣a∣∣b∣cos⁡θ⋅(−∣b∣cos⁡θ∣a∣)+b2=1,f \left(- \frac {| \boldsymbol {b} | \cos \theta}{| \boldsymbol {a} |}\right) = \boldsymbol {a} ^ {2} \cdot \left(- \frac {| \boldsymbol {b} | \cos \theta}{| \boldsymbol {a} |}\right) ^ {2} + 2 | \boldsymbol {a} | | \boldsymbol {b} | \cos \theta \cdot \left(- \frac {| \boldsymbol {b} | \cos \theta}{| \boldsymbol {a} |}\right) + \boldsymbol {b} ^ {2} = 1,

化简可得 b2(1−cos⁡2θ)=1\boldsymbol{b}^{2}(1-\cos^{2}\theta)=1 ，整理得 b2sin⁡2θ=1b^{2}\sin^{2}\theta=1 ，即 sin⁡θ=1∣b∣\sin\theta=\frac{1}{|b|} 。当 ∣b∣|b| 确定， θ\theta 会出现两个值，分别为第一象限角与第二象限角，故 D 错误。当 θ\theta 确定， ∣b∣|b| 唯一确定。故选 B.

对于 c=ta+bc = ta + b （其中 tt 为任意实数）这类题型，同学们可以考虑两种解题思路：几何意义和函数思想。在例3.67和例3.68中，我们也可以采用坐标法解题，但建系法的运算相对复杂，如果同学们有兴趣，也可以尝试使用坐标法。

现在, 让我们再次来看例3.66, 为了完善叙述的完整性并便于同学们对比, 将题目再复制如下. 在本节的开篇, 我们通过建系的方式求解本题, 虽然建系比较简单, 但计算却相对复杂. 在这里, 我们将通过几何意义来解决.

✍️ 例 3.69

已知定圆 C 的半径为 3, A, B 为圆 C 上两点, 且 ∣AC→+tAB→∣\left|\overrightarrow{AC} + t\overrightarrow{AB}\right| 的最小值为 1, 则 ∣AB→∣=\left|\overrightarrow{AB}\right| = ____.

🔑 查看解析与步骤

根据题意, 画出草图, 图像如图 3-64 所示. 令 AE→=AC→+tAB→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + t\overrightarrow{AB} , 即 CE→=tAB→\overrightarrow{CE} = t\overrightarrow{AB} , 所以点 EE 的轨迹为过点 CC 且与 ABAB 平行的直线. 当 EE 与 DD 点重合, 即 AD⊥CDAD \perp CD 时, ∣AC→+tAB→∣|\overrightarrow{AC} + t\overrightarrow{AB}| 取得最小值为 ∣AD∣=1|AD| = 1 , 如图 3-65 所示. 可得圆心 CC 到线段 ABAB 的距离 d=1d = 1 , 所以由圆内弦长公式可知 ∣AB∣=2r2−d2=42|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 4\sqrt{2} , 故填 424\sqrt{2} .


图3-64


图3-65

对比例3.66和例3.69这两个例子的解析, 你会发现建系法相比几何意义来说并不直接. 再次强调, 建系是向量问题的首选方法, 但在某些情况下, 建系并不方便且运算量较大, 这时候建系就不可取, 应当选择其他方法来解决问题.

🎯 变式 3.69.1

（2023 天津模考）在 △ABC\triangle ABC 中， A=π3A = \frac{\pi}{3} ，点 DD 满足 BD→=13AB→+23BC→\overrightarrow{BD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} ，则 ADAC=\frac{AD}{AC} = ____；若对任意 x∈Rx \in \mathbb{R} ， ∣xAC→+AB→∣⩾∣AD→−AB→∣|x\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}| \geqslant |\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}| 恒成立，则 cos⁡∠ABC=\cos \angle ABC = ____.