3.6 常见几何图形的向量表示

通过前面几节的学习，我们一直向同学们灌输一个思想: 在处理向量问题时，优先考虑建系．然而，对于一些特殊问题，比如系数和问题、数量积问题，存在许多固定的几何方法，也就是所谓的套路．通常情况下，用几何法解决这些问题要比使用向量法计算量小得多．因此，掌握一定的几何法也是必要的．

和前两节类似，在本节中我们将重点讲解一些具有明显几何特征的向量问题，这些问题利用几何法比向量法的计算量要小．我们会先通过向量法解析一个例题，让大家具体了解向量法的计算复杂度，然后也会让大家深刻体会到掌握几何法的必要性．

例 3.66

已知定圆 $C$ 的半径为 3, $A$, $B$ 为圆 $C$ 上两点，且 $\left|\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AB}\right|$ 的最小值为 1，则 $\left|\overrightarrow{AB}\right|=$ ____.

查看解析与步骤

把圆心 $C$ 固定在坐标原点，即 $C(0,0)$，圆 $C$ 的方程为 $x^2+y^2=9$．因为 $A,B$ 为圆 $C$ 上两点，令 $A(3\cos \alpha ,3\sin \alpha ),B(3\cos \beta ,3\sin \beta )$，则

overrightarrow A C + t overrightarrow A B = (3 t cos β - 3 t cos α - 3 cos α , 3 t sin β - 3 t sin α - 3 sin α).$$\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AB}=(3t\cos \beta -3t\cos \alpha -3\cos \alpha ,3t\sin \beta -3t\sin \alpha -3\sin \alpha ).$$

于是

| overrightarrow A C + t overrightarrow A B | ^ 2 = 9 [ t ^ 2 + (t + 1) ^ 2 - 2 t (t + 1) cos (α - β) ].$$|\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AB}{|}^2=9[t^2+(t+1{)}^2-2t(t+1)\cos (\alpha -\beta )].$$

将上式视为以 $t$ 为主元的二次函数，令 $f(t)=t^2+(t+1{)}^2-2t(t+1)\cos (\alpha -\beta )$，则

f (t) = [ 2 - 2 cos (α - β) ] t ^ 2 + [ 2 - 2 cos (α - β) ] t + 1.$$f(t)=[2-2\cos (\alpha -\beta )]t^2+[2-2\cos (\alpha -\beta )]t+1.$$

因为 $f(t)$ 的对称轴为 $-\frac{1}{2}$，所以 $f(t{)}_{\min }=f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cos (\alpha -\beta )+\frac{1}{2}$．由题意可知 $|\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AB}|$ 的最小值为 1, 所以 $f(t{)}_{\min }=\frac{1}{9}$，即 $\frac{1}{2}\cos (\alpha -\beta )+\frac{1}{2}=\frac{1}{9}$，解得 $\cos (\alpha -\beta )=-\frac{7}{9}$．而 $\overrightarrow{AB}=(3\cos \beta -3\cos \alpha ,3\sin \beta -3\sin \alpha )$，则

| overrightarrow A B | = sqrt 1 8 - 1 8 cos (α - β) = sqrt 1 8 - 1 8 × (- frac 79) = 4 sqrt 2.$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{18-18\cos (\alpha -\beta )}=\sqrt{18-18\times \left(-\frac{7}{9}\right)}=4\sqrt{2}.$$

所以 $|\overrightarrow{AB}|=4\sqrt{2}$，故填 $4\sqrt{2}$ .

通过例3.66的解析，你会发现建立直角坐标系虽然方便，但运算非常烦琐．因此，在本节中，我们不建议通过建立直角坐标系来解决这类问题．在本节中，大部分题目都和例3.66类似，可以建系，但是运理会很麻烦．因此，我们需要考虑用几何法来处理这类题目．

接下来，我们介绍几种常见几何图形的向量表示，包括平行线、圆、平行四边形和三角形．