3.6 常见几何图形的向量表示

通过前面几节的学习, 我们一直向同学们灌输一个思想: 在处理向量问题时, 优先考虑建系. 然而, 对于一些特殊问题, 比如系数和问题、数量积问题, 存在许多固定的几何方法, 也就是所谓的套路. 通常情况下, 用几何法解决这些问题要比使用向量法计算量小得多. 因此, 掌握一定的几何法也是必要的.

和前两节类似, 在本节中我们将重点讲解一些具有明显几何特征的向量问题, 这些问题利用几何法比向量法的计算量要小. 我们会先通过向量法解析一个例题, 让大家具体了解向量法的计算复杂度, 然后也会让大家深刻体会到掌握几何法的必要性.

✍️ 例 3.66

已知定圆 C 的半径为 3, A, B 为圆 C 上两点，且 $\left|\overrightarrow{AC} + t\overrightarrow{AB}\right|$ 的最小值为 1，则 $\left|\overrightarrow{AB}\right| =$ ____.

🔑 查看解析与步骤

把圆心 $C$ 固定在坐标原点, 即 $C(0,0)$ , 圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 9$ . 因为 $A, B$ 为圆 $C$ 上两点, 令 $A(3\cos \alpha, 3\sin \alpha), B(3\cos \beta, 3\sin \beta)$ , 则

$$\overrightarrow {A C} + t \overrightarrow {A B} = (3 t \cos \beta - 3 t \cos \alpha - 3 \cos \alpha , 3 t \sin \beta - 3 t \sin \alpha - 3 \sin \alpha).$$

于是

$$| \overrightarrow {A C} + t \overrightarrow {A B} | ^ {2} = 9 [ t ^ {2} + (t + 1) ^ {2} - 2 t (t + 1) \cos (\alpha - \beta) ].$$

将上式视为以 $t$ 为主元的二次函数, 令 $f(t) = t^2 + (t + 1)^2 - 2t(t + 1)\cos (\alpha - \beta)$ , 则

$$f (t) = [ 2 - 2 \cos (\alpha - \beta) ] t ^ {2} + [ 2 - 2 \cos (\alpha - \beta) ] t + 1.$$

因为 $f(t)$ 的对称轴为 $-\frac{1}{2}$ , 所以 $f(t)_{\min} = f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cos(\alpha - \beta) + \frac{1}{2}$ . 由题意可知 $|\overrightarrow{AC} + t\overrightarrow{AB}|$ 的最小值为 1, 所以 $f(t)_{\min} = \frac{1}{9}$ , 即 $\frac{1}{2} \cos(\alpha - \beta) + \frac{1}{2} = \frac{1}{9}$ , 解得 $\cos(\alpha - \beta) = -\frac{7}{9}$ . 而 $\overrightarrow{AB} = (3 \cos \beta - 3 \cos \alpha, 3 \sin \beta - 3 \sin \alpha)$ , 则

$$| \overrightarrow {A B} | = \sqrt {1 8 - 1 8 \cos (\alpha - \beta)} = \sqrt {1 8 - 1 8 \times \left(- \frac {7}{9}\right)} = 4 \sqrt {2}.$$

所以 $|\overrightarrow{AB}| = 4\sqrt{2}$ , 故填 $4\sqrt{2}$ .

通过例3.66的解析, 你会发现建立直角坐标系虽然方便, 但运算非常烦琐. 因此, 在本节中, 我们不建议通过建立直角坐标系来解决这类问题. 在本节中, 大部分题目都和例3.66类似, 可以建系, 但是运理会很麻烦. 因此, 我们需要考虑用几何法来处理这类题目.

接下来, 我们介绍几种常见几何图形的向量表示, 包括平行线、圆、平行四边形和三角形.