3.5.4 不等式

根据数量积的定义可知 $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ , 其中 $\theta$ 为 $a$ 与 $b$ 的夹角, 而 $\cos \theta \in [-1,1]$ , 则有 $-|a||b| \leqslant |a||b| \cos \theta \leqslant |a||b|$ , 即 $-|a||b| \leqslant a \cdot b \leqslant |a||b|$ . 这就是向量不等式.

✍️ 例 3.60

已知 a 是平面内的单位向量, 若 $a \cdot b = b^{2}$ , 则 $|b|$ 的取值范围是 ____.

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根据题意可知 $|a| = 1$ ，条件中 $a \cdot b = b^2$ ，则 $a \cdot b \leqslant |a| \cdot |b|$ ，得 $b^2 \leqslant |a| \cdot |b|$ ，可得 $|b|^2 \leqslant |b|$ ，则 $|b| \in [0,1]$ ，故填 $[0,1]$ .

✍️ 例 3.61

对于同一平面内的单位向量 a, b, c, 若 a 与 b 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $(a - b) \cdot (a - 2c)$ 的最大值为（）. A. $\frac{3}{2}$ B.2 C. $\frac{5}{2}$ D.3

🧠 思路分析

根据题意可知 $|a| = |b| = |c| = 1$ ，又因为 $\pmb{a}$ 与 $\pmb{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $\pmb{a} \cdot \pmb{b} = \frac{1}{2}$ 。接下来就是如何处理问题了。第一种方式就是直接用不等式 $(\pmb{a} - \pmb{b}) \cdot (\pmb{a} - 2c) \leqslant |\pmb{a} - \pmb{b}| |\pmb{a} - 2c|$ ，现在只需求出 $|\pmb{a} - \pmb{b}|$ 与 $|\pmb{a} - 2c|$ 的值， $|\pmb{a} - \pmb{b}| = \sqrt{\pmb{a}^2 - 2\pmb{ab} + \pmb{b}^2} = 1$ 。发现 $|\pmb{a} - 2c|$ 并不是一个具体确定的值，因此无法求解，所以第一种办法行不通。第二种方式就是直接展开，具体见解析。

🔑 查看解析与步骤

$(a - b)\cdot (a - 2c) = a^2 -a\cdot b - 2a\cdot c + 2b\cdot c = \frac{1}{2} +2c\cdot (b - a)\leqslant \frac{1}{2} +2|c||b - a|$ ，由分析可知 $|a - b| = \sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = 1,$ 则 $|c||b - a| = 1,$ 所以 $(a - b)\cdot (a - 2c)\leqslant \frac{5}{2}$ 当且仅当 $\pmb {b} - \pmb{a}$ 与 $\pmb{c}$ 同向时取得等号．故选C.

🎯 变式 3.61.1

(2009 全国 I 理 6) 设 a, b, c 是单位向量, 且 $a \cdot b = 0$ , 则 $(a - c) \cdot (b - c)$ 的最小值为 ( ).

A. -2 B. $\sqrt{2} - 2$ C. -1 D. $1 - \sqrt{2}$

✍️ 例 3.62

(2012 安徽理 14) 若平面向量 a, b 满足 $\left|2a - b\right| \leqslant 3$ ，则 $a \cdot b$ 的最小值是 ____.

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$|2a-b|^{2}=4a^{2}+b^{2}-4a\cdot b\geqslant-4a\cdot b-4a\cdot b=-8a\cdot b.$ 因为 $|2a-b|^{2}\leqslant9,$ 所以 $a\cdot b\geqslant-\frac{9}{8},$ 当且仅当 2a=-b 且 $|2a-b|=3$ 时等号成立，故填 $-\frac{9}{8}.$

本题表面上依然是数量积求最值, 但是却不是直接由数量积不等式得到最值. 而是由数量积不等式 $4a \cdot (-b) \leqslant 4|a||b|$ 与均值不等式 $4|a||b| \leqslant 4a^2 + b^2$ 传递得到结果的, 同时使用两次不等式极易出错, 这也决定了该题的难度是非常高的.

既然是不等式, 那么对于不等式取最值, 都得注意等号成立的条件, 向量不等式求最值也是一样. 向量不等式的最值往往都在两向量共线的情况下取得.

众所周知, 基本不等式就是指 $m^2 + n^2 \geqslant 2mn$ , 其中 $m, n$ 是任意实数, 当且仅当 $m = n$ 时等号成立. 类比基本不等式, 对任意向量 $a, b$ , 有 $a^2 + b^2 = |a|^2 + |b|^2 \geqslant 2|a||b|$ , 其中 $|a| = |b|$ , 又因为 $a \cdot b \leqslant |a| \cdot |b|$ , 注意 $a$ 与 $b$ 同向, 所以 $a^2 + b^2 \geqslant 2a \cdot b$ , 等号成立的条件是 $a = b$ . 类比基本不等式还可以得到常用的三个向量不等式 $\left\{ \begin{array}{l} a^2 + b^2 \geqslant -2a \cdot b \\ (a + b)^2 \geqslant 4a \cdot b \\ (a - b)^2 \geqslant -4a \cdot b \end{array} \right.$

✍️ 例 3.63

(2014 安徽文 10) 设 a, b 为非零向量, $|b| = 2|a|$ , 两组向量 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 和 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成. 若 $x_{1} \cdot y_{1} + x_{2} \cdot y_{2} + x_{3} \cdot y_{3} + x_{4} \cdot y_{4}$ 所有可能取值中的最小值为 $4|a|^{2}$ , 则 a 与 b 的夹角为 ( ).

A. $\frac{2\pi}{3}$ B. $\frac{\pi}{3}$ C. $\frac{\pi}{6}$ D. 0

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令 $T = \min \{x_{1} \cdot y_{1} + x_{2} \cdot y_{2} + x_{3} \cdot y_{3} + x_{4} \cdot y_{4}\}$ , $a$ 与 $b$ 的夹角为 $\theta$ , 因为两组向量 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 和 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ 均由 2 个 $a$ 和 2 个 $b$ 排列而成, 所以 $x_{i}y_{i} \in \{a^{2}, b^{2}, a \cdot b\} (i = 1, 2, 3, 4)$ , 则四组相加的结果只可能得到 $T = \min \{2a^{2} + 2b^{2}, a^{2} + b^{2} + 2a \cdot b, 4a \cdot b\}$ (只需列举出来). 又因为 $2a^{2} + 2b^{2} \geqslant a^{2} + b^{2} + 2a \cdot b \geqslant 4a \cdot b$ , 所以 $T = 4a \cdot b$ , 又 $T = 4|a|^2$ , 则 $T = 4a \cdot b = 4|a||b|\cos \theta = 8|a|^2\cos \theta = 4|a|^2$ , 可得 $\cos \theta = \frac{1}{2}$ , 即 $\theta = \frac{\pi}{3}$ , 故选 B.

🎯 变式 3.63.1

(2019 泉州质检) 已知向量 a, b 满足 $|a| = 1$ , $(b + a) \cdot (b - 3a) = 0$ , 则 $(b - a) \cdot b$ 的最大值等于 ( ).

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

对于向量来说, 向量的加减法则就是三角形法则, 我们知道对于任意一个三角形来说, 两边之和大于第三边, 两边之差的绝对值小于第三边, 由此可知, 对于 $|m|$ , $|n|$ , $|m \pm n|$ 构成的三角不等式要特别注意等号成立的条件.

(1) 当且仅当 $m, n$ 方向相同时, 我们可以得到

$$| \boldsymbol {m} + \boldsymbol {n} | = | \boldsymbol {m} | + | \boldsymbol {n} |, | | \boldsymbol {m} | - | \boldsymbol {n} | | = | \boldsymbol {m} - \boldsymbol {n} |.$$

(2) 当且仅当 $m, n$ 方向相反时, 我们可以得到

$$| \boldsymbol {m} - \boldsymbol {n} | = | \boldsymbol {m} | + | \boldsymbol {n} |, | | \boldsymbol {m} | - | \boldsymbol {n} | | = | \boldsymbol {m} + \boldsymbol {n} |.$$

由此我们可以到向量三角不等式 $||\pmb {m} - |\pmb {n}||\leqslant |\pmb {m}\pm \pmb {n}|\leqslant |\pmb {m}| + |\pmb {n}|$

✍️ 例 3.64

(2023 四川资阳一模) 已知平面向量 a, b, c 满足 $|a| = |b| = |a + b| = 2$ ，且 $|a - 2b - c| = \sqrt{7}$ ，则 $|c|$ 的最大值为 ____.

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在 $|a + b| = 2$ 两边同时平方得 $a^2 + 2a \cdot b + b^2 = 4$ , 又由 $|a| = |b| = 2$ , 所以 $a \cdot b = -2$ , 则

$$\vert \boldsymbol {a} - 2 \boldsymbol {b} \vert = \sqrt {(\boldsymbol {a} - 2 \boldsymbol {b}) ^ {2}} = \sqrt {\boldsymbol {a} ^ {2} - 4 \boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b} + 4 \boldsymbol {b} ^ {2}} = \sqrt {4 + 8 + 1 6} = 2 \sqrt {7}.$$

由向量模长的三角形不等式可得

$$\left| \left| a - 2 b \right| - | c | \right| \leqslant \left| a - 2 b - c \right| \leqslant \left| a - 2 b \right| + | c |,$$

即 $|2\sqrt{7} - |c|| \leqslant \sqrt{7} \leqslant 2\sqrt{7} + |c|$ , 解得 $\sqrt{7} \leqslant |c| \leqslant 3\sqrt{7}$ , 则 $|c|$ 的最大值为 $3\sqrt{7}$ , 故填 $3\sqrt{7}$ .

✍️ 例 3.65

已知平面向量 a, b 是非零向量, 且 $\left|2a - b\right| = 1, \left|a - 3b\right| = 2$ , 则 $\left|a - 2b\right|$ 的最大值为 ____.

🔑 查看解析与步骤

因为 $|2a - b| = 1, |a - 3b| = 2,$ 所以 $\pmb{a} - 2\pmb{b}$ 需要用 $2a - b, a - 3b$ 来表示，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对 $\lambda, \mu,$ 使得 $\pmb{a} - 2\pmb{b} = \lambda(2\pmb{a} - \pmb{b}) + \mu(\pmb{a} - 3\pmb{b})$ ，可得 $\left\{ \begin{array}{l} 2\lambda + \mu = 1 \\ \lambda + 3\mu = 2 \end{array} \right.$ ，解得 $\left\{ \begin{array}{l} \lambda = \frac{1}{5} \\ \mu = \frac{3}{5} \end{array} \right.$ ，即 $\pmb{a} - 2\pmb{b} = \frac{1}{5}(2\pmb{a} - \pmb{b}) + \frac{3}{5} (\pmb{a} - 3\pmb{b})$ ，由向量三角不等式得

$$\left| \boldsymbol {a} - 2 \boldsymbol {b} \right| = \left| \frac {1}{5} (2 \boldsymbol {a} - \boldsymbol {b}) + \frac {3}{5} (\boldsymbol {a} - 3 \boldsymbol {b}) \right| \leqslant \left| \frac {1}{5} (2 \boldsymbol {a} - \boldsymbol {b}) \right| + \left| \frac {3}{5} (\boldsymbol {a} - 3 \boldsymbol {b}) \right| = \frac {7}{5},$$

可取 $|\pmb{a}| = \frac{1}{5}, |\pmb{b}| = \frac{3}{5}$ , 且 $\pmb{a}$ 与 $\pmb{b}$ 反向, 故 $|\pmb{a} - 2\pmb{b}|$ 的最大值为 $\frac{7}{5}$ . 故填 $\frac{7}{5}$ .

🎯 变式 3.65.1

设 a, b 为单位向量, 若向量 c 满足 $\left|c - (a - b)\right| = |a + b|$ , 则 $|c|$ 的最大值为 ____.