3.2.3 非对称与非直角 · 《新高考数学你真的掌握了吗（第二版）》

虽然垂直和对称性为建立坐标系提供了便利，但这只是众多图形中的几种具有的特殊性质而已．很多时候，图形并不具备这些优势，下面就是一个例子．

例 3.27

在平行四边形 ABCD 中， AB = 4, AD = 2, $\angle A = 60^{\circ}$ , $M$ 为 CD 的中点， $N$ 为平面 ABCD 内一点，若 $|AN| = |MN|$ ，则 $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN}$ 的值为 ____.

查看解析与步骤

以点 $A$ 为坐标原点，直线 AB 为 $x$ 轴， AB 的垂线为 $y$ 轴建立直角坐标系．如图 3-22 所示，因为 $\angle A = 60^{\circ}$ ，所以 $A(0,0)$ , $B(4,0)$ , $D(1,\sqrt{3})$ , $C(5,\sqrt{3})$ , $M(3,\sqrt{3})$ .

设 $N(x,y)$ ，由 $|AN| = |MN|$ 可得 $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - \sqrt{3})^2}$ ，化简可得 $3x + \sqrt{3}y = 6$ ．而 $\overrightarrow{AM} = (3, \sqrt{3}), \overrightarrow{AN} = (x,y)$ ，则 $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN} = 3x + \sqrt{3}y = 6$ ，故填 6.

就像例3.27那样，这个图形本身并没有特殊性．然而，只要我们给出具体的图形，并明确了相应的角度和长度，建立直角坐标系仍然是可行的．在这种情况下，我们提出以下建议:

建议四

所给角度的顶点设为坐标原点，并尽可能让参与运算的点或线段位于坐标轴上．

如果所给的长度无法出现在坐标轴上，我们应该如何处理呢? 是设定点的坐标还是设定线段的长度? 下面通过一个例子进行说明:

例 3.28

(2023 天津 14) 在 $\triangle ABC$ 中， $\angle A = 60^{\circ}$ , BC = 1, 点 $D$ 为 AB 的中点，点 $E$ 为 CD 的中点，若 $\overrightarrow{BF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ ，则 $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF}$ 的最大值为 ____.

查看解析与步骤

以 $A$ 为坐标原点， $AB$ 所在直线为 $x$ 轴，建立如图 3-23所示的平面直角坐标系．过点 $C$ 作 $CM \perp x$ 轴，垂足为 $M$ ．下面我们该如何确定点 $B, C$ 的坐标呢? 直接设点 $B, C$ 的坐标吗? 当然不是，因为已知 $\angle A = 60^{\circ}$ ，所以需要充分利用角度来解三角形，故设 $AB, AC$ 的长度，设 $AB = 2x$ , $AC = 2y$ ，由 $\angle A = 60^{\circ}$ ，可得 $AM = y$ , $CM = \sqrt{3}y$ ，可得点 $C$ 的坐标为 $(y, \sqrt{3}y)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(2x, 0)$ ，由 $BC = 1$ ，可得 $4x^{2} + 4y^{2} - 4xy = 1$ .

设 $F(x_0,y_0)$ ，则 $\overrightarrow{BF} = (x_0 - 2x,y_0),\overrightarrow{BC} = (y - 2x,\sqrt{3} y)$ ，由 $\overrightarrow{BF} =$ $\frac{1}{3}\overrightarrow{BC},$ 可得

\left\{ \begin{array}{l l} y - 2 x = 3 (x _ {0} - 2 x) \\ \sqrt {3} y = 3 y _ {0} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} x _ {0} = \frac {1}{3} (4 x + y) \\ y _ {0} = \frac {\sqrt {3}}{3} y \end{array} \right.

所以点 $F$ 的坐标为 $\left(\frac{4x + y}{3},\frac{\sqrt{3}}{3} y\right)$ ．又因为 $D$ 为 $AB$ 中点，所以 $D(x,0)$ ，而点 $E$ 为 $CD$ 的中点，所以 $E\left(\frac{x + y}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} y\right)$ ，又由 $A(0,0)$ ，则

\overrightarrow {A E} \cdot \overrightarrow {A F} = \frac {1}{6} (4 x ^ {2} + 4 y ^ {2} + 5 x y).

利用 $4x^{2} + 4y^{2} - 4xy = 1$ 可得

\overrightarrow {A E} \cdot \overrightarrow {A F} = \frac {1}{6} (1 + 9 x y).

由 $4x^{2} + 4y^{2} - 4xy = 1$ 可得 $1 + 4xy = 4(x^{2} + y^{2})\geqslant 8xy,$ 解得 $xy\leqslant \frac{1}{4}$ ，代入上式可得

\overrightarrow {A E} \cdot \overrightarrow {A F} = \frac {1}{6} (1 + 9 x y) \leqslant \frac {1}{6} \left(1 + \frac {9}{4}\right) = \frac {1 3}{2 4},

当且仅当 $x = y = \frac{1}{2}$ 时等号成立，故填 $\frac{13}{24}$ .

例3.27与例3.28的题干都是既明确了相应的线段长，又明确了相应的角度，但有时候角度与长度不一定都具备，若是遇到只明确两者之一的题呢? 那么这样的问题还能建系吗?

例 3.29

在平面四边形 ABCD 中，已知 AB = 1, BC = 4, CD = 2, DA = 3, 则 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$ 的值为 ____.

解析1

由于题中只给出了线段长，并没有给出角度，因此尽可能把已知线段放在坐标轴上，但是发现只可能一条线段放在坐标轴上，因此任选一条放在坐标轴上，不妨选 $AD$ 在坐标轴上，以点 $A$ 为坐标原点，如图 3-24所示，则可得 $A(0,0), D(3,0)$ ．不妨设 $B(x_1,y_1), C(x_2,y_2)$ ，根据题意可知 $\overrightarrow{AC} = (x_2,y_2), \overrightarrow{BD} = (3 - x_1, -y_1)$ ，则

\overrightarrow {A C} \cdot \overrightarrow {B D} = (x _ {2}, y _ {2}) \cdot (3 - x _ {1}, - y _ {1}) = 3 x _ {2} - (x _ {1} x _ {2} + y _ {1} y _ {2}).\tag{3.2.1}

我们要求式(3.2.1)的值，那么需要从条件中挖掘信息，由 AB = 1, BC = 4, CD = 2, 可得

\left\{ \begin{array}{l l} x _ {1} ^ {2} + y _ {1} ^ {2} = 1 \\ (x _ {1} - x _ {2}) ^ {2} + (y _ {1} - y _ {2}) ^ {2} = 1 6 \\ (x _ {2} - 3) ^ {2} + y _ {2} ^ {2} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} x _ {1} ^ {2} + y _ {1} ^ {2} = 1 \\ x _ {1} ^ {2} + y _ {1} ^ {2} - 2 (x _ {1} x _ {2} + y _ {1} y _ {2}) + x _ {2} ^ {2} + y _ {2} ^ {2} = 1 6 \\ x _ {2} ^ {2} + y _ {2} ^ {2} - 6 x _ {2} + 9 = 4 \end{array} \right.\tag{\textcircled{1}}

②

③

由②-①-③可得 $3x_{2} - (x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}) = 10$ ，将其代入式(3.2.1)可得 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 3x_{2} - (x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}) = 10$ 故填10.

本题的四边形 $ABCD$ 虽然知道了四边的边长，但是四个顶角是变化的，我们完全可以令 $A$ 等于 $90^{\circ}$ ，在此基础上建系，运算量会小很多．

解析 2

不妨设 $A = 90^{\circ}$ ，以 $A$ 为坐标原点，AD 所在直线为 $x$ 轴，建立如图 3-25 所示的平面直角坐标系，则 $A(0,0)$ ， $D(3,0)$ ， $B(0,1)$ ，设 $C(x,y)$ ，由 BC = 4，CD = 2，可得

\left\{ \begin{array}{l l} x ^ {2} + (y - 1) ^ {2} = 1 6 \\ (x - 3) ^ {2} + y ^ {2} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} x ^ {2} + y ^ {2} - 2 y = 1 5 \\ x ^ {2} + y ^ {2} - 6 x = - 5 \end{array} \right.\tag{\textcircled{1}}

②

由 ①-② 可得 $3x - y = 10$ ，所以 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (x, y) \cdot (3, -1) = 3x - y = 10$ ，故填 10.

变式 3.29.1

(2023 泉州三模) 已知平面向量 $a$ , $b$ , $c$ 满足 $|a| = 1$ , $b \cdot c = 0$ , $a \cdot b = 1$ , $a \cdot c = -1$ ，则 $|b + c|$ 的最小值为 ( ). A. 1 B. $\sqrt{2}$ C. 2 D. 4