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3.2.3 非对称与非直角

虽然垂直和对称性为建立坐标系提供了便利, 但这只是众多图形中的几种具有的特殊性质而已. 很多时候, 图形并不具备这些优势, 下面就是一个例子.

✍️ 例 3.27

在平行四边形 ABCD 中, AB = 4, AD = 2, ∠A=60∘\angle A = 60^{\circ} , M 为 CD 的中点, N 为平面 ABCD 内一点, 若 ∣AN∣=∣MN∣|AN| = |MN| , 则 AM→⋅AN→\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN} 的值为 ____.

🔑 查看解析与步骤

以点 A 为坐标原点, 直线 AB 为 x 轴, AB 的垂线为 y 轴建立直角坐标系. 如图 3-22 所示, 因为 ∠A=60∘\angle A = 60^{\circ} , 所以 A(0,0)A(0,0) , B(4,0)B(4,0) , D(1,3)D(1,\sqrt{3}) , C(5,3)C(5,\sqrt{3}) , M(3,3)M(3,\sqrt{3}) .

设 N(x,y)N(x,y) , 由 ∣AN∣=∣MN∣|AN| = |MN| 可得 x2+y2=(x−3)2+(y−3)2\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - \sqrt{3})^2} , 化简可得 3x+3y=63x + \sqrt{3}y = 6 . 而 AM→=(3,3),AN→=(x,y)\overrightarrow{AM} = (3, \sqrt{3}), \overrightarrow{AN} = (x,y) , 则 AM→⋅AN→=3x+3y=6\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN} = 3x + \sqrt{3}y = 6 , 故填 6.


图3-22

就像例3.27那样, 这个图形本身并没有特殊性. 然而, 只要我们给出具体的图形, 并明确了相应的角度和长度, 建立直角坐标系仍然是可行的. 在这种情况下, 我们提出以下建议:

📦 建议四

所给角度的顶点设为坐标原点, 并尽可能让参与运算的点或线段位于坐标轴上.

如果所给的长度无法出现在坐标轴上, 我们应该如何处理呢? 是设定点的坐标还是设定线段的长度? 下面通过一个例子进行说明:

✍️ 例 3.28

(2023 天津 14) 在 △ABC\triangle ABC 中, ∠A=60∘\angle A = 60^{\circ} , BC = 1, 点 D 为 AB 的中点, 点 E 为 CD 的中点, 若 BF→=13BC→\overrightarrow{BF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} , 则 AE→⋅AF→\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} 的最大值为 ____.

🔑 查看解析与步骤

以 AA 为坐标原点, ABAB 所在直线为 xx 轴, 建立如图3-23所示的平面直角坐标系. 过点 CC 作 CM⊥xCM \perp x 轴, 垂足为 MM . 下面我们该如何确定点 B,CB, C 的坐标呢? 直接设点 B,CB, C 的坐标吗? 当然不是, 因为已知 ∠A=60∘\angle A = 60^{\circ} , 所以需要充分利用角度来解三角形, 故设 AB,ACAB, AC 的长度, 设 AB=2xAB = 2x , AC=2yAC = 2y , 由 ∠A=60∘\angle A = 60^{\circ} , 可得 AM=yAM = y , CM=3yCM = \sqrt{3}y , 可得点 CC 的坐标为 (y,3y)(y, \sqrt{3}y) , 点 BB 的坐标为 (2x,0)(2x, 0) , 由 BC=1BC = 1 , 可得 4x2+4y2−4xy=14x^{2} + 4y^{2} - 4xy = 1 .


图3-23

设 F(x0,y0)F(x_0,y_0) ，则 BF→=(x0−2x,y0),BC→=(y−2x,3y)\overrightarrow{BF} = (x_0 - 2x,y_0),\overrightarrow{BC} = (y - 2x,\sqrt{3} y) ，由 BF→=\overrightarrow{BF} = 13BC→,\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}, 可得

{y−2x=3(x0−2x)3y=3y0⇒{x0=13(4x+y)y0=33y\left\{ \begin{array}{l l} y - 2 x = 3 (x _ {0} - 2 x) \\ \sqrt {3} y = 3 y _ {0} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} x _ {0} = \frac {1}{3} (4 x + y) \\ y _ {0} = \frac {\sqrt {3}}{3} y \end{array} \right.

所以点 FF 的坐标为 (4x+y3,33y)\left(\frac{4x + y}{3},\frac{\sqrt{3}}{3} y\right) . 又因为 DD 为 ABAB 中点, 所以 D(x,0)D(x,0) , 而点 EE 为 CDCD 的中点, 所以 E(x+y2,32y)E\left(\frac{x + y}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} y\right) , 又由 A(0,0)A(0,0) , 则

AE→⋅AF→=16(4x2+4y2+5xy).\overrightarrow {A E} \cdot \overrightarrow {A F} = \frac {1}{6} (4 x ^ {2} + 4 y ^ {2} + 5 x y).

利用 4x2+4y2−4xy=14x^{2} + 4y^{2} - 4xy = 1 可得

AE→⋅AF→=16(1+9xy).\overrightarrow {A E} \cdot \overrightarrow {A F} = \frac {1}{6} (1 + 9 x y).

由 4x2+4y2−4xy=14x^{2} + 4y^{2} - 4xy = 1 可得 1+4xy=4(x2+y2)⩾8xy,1 + 4xy = 4(x^{2} + y^{2})\geqslant 8xy, 解得 xy⩽14xy\leqslant \frac{1}{4} ，代入上式可得

AE→⋅AF→=16(1+9xy)⩽16(1+94)=1324,\overrightarrow {A E} \cdot \overrightarrow {A F} = \frac {1}{6} (1 + 9 x y) \leqslant \frac {1}{6} \left(1 + \frac {9}{4}\right) = \frac {1 3}{2 4},

当且仅当 x=y=12x = y = \frac{1}{2} 时等号成立, 故填 1324\frac{13}{24} .

例3.27与例3.28的题干都是既明确了相应的线段长, 又明确了相应的角度, 但有时候角度与长度不一定都具备, 若是遇到只明确两者之一的题呢? 那么这样的问题还能建系吗?

✍️ 例 3.29

在平面四边形 ABCD 中, 已知 AB = 1, BC = 4, CD = 2, DA = 3, 则 AC→⋅BD→\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} 的值为 ____.

🔑 解析1

由于题中只给出了线段长，并没有给出角度，因此尽可能把已知线段放在坐标轴上，但是发现只可能一条线段放在坐标轴上, 因此任选一条放在坐标轴上, 不妨选 ADAD 在坐标轴上, 以点 AA 为坐标原点, 如图3-24所示, 则可得 A(0,0),D(3,0)A(0,0), D(3,0) . 不妨设 B(x1,y1),C(x2,y2)B(x_1,y_1), C(x_2,y_2) , 根据题意可知 AC→=(x2,y2),BD→=(3−x1,−y1)\overrightarrow{AC} = (x_2,y_2), \overrightarrow{BD} = (3 - x_1, -y_1) , 则

AC→⋅BD→=(x2,y2)⋅(3−x1,−y1)=3x2−(x1x2+y1y2).(3.2.1)\overrightarrow {A C} \cdot \overrightarrow {B D} = (x _ {2}, y _ {2}) \cdot (3 - x _ {1}, - y _ {1}) = 3 x _ {2} - (x _ {1} x _ {2} + y _ {1} y _ {2}).\tag{3.2.1}

我们要求式(3.2.1)的值, 那么需要从条件中挖掘信息, 由 AB = 1, BC = 4, CD = 2, 可得

{x12+y12=1(x1−x2)2+(y1−y2)2=16(x2−3)2+y22=4⇒{x12+y12=1x12+y12−2(x1x2+y1y2)+x22+y22=16x22+y22−6x2+9=4(①)\left\{ \begin{array}{l l} x _ {1} ^ {2} + y _ {1} ^ {2} = 1 \\ (x _ {1} - x _ {2}) ^ {2} + (y _ {1} - y _ {2}) ^ {2} = 1 6 \\ (x _ {2} - 3) ^ {2} + y _ {2} ^ {2} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} x _ {1} ^ {2} + y _ {1} ^ {2} = 1 \\ x _ {1} ^ {2} + y _ {1} ^ {2} - 2 (x _ {1} x _ {2} + y _ {1} y _ {2}) + x _ {2} ^ {2} + y _ {2} ^ {2} = 1 6 \\ x _ {2} ^ {2} + y _ {2} ^ {2} - 6 x _ {2} + 9 = 4 \end{array} \right.\tag{①}

②

③

由②-①-③可得 3x2−(x1x2+y1y2)=103x_{2} - (x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}) = 10 ，将其代入式(3.2.1)可得 AC→⋅BD→=3x2−(x1x2+y1y2)=10\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 3x_{2} - (x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}) = 10 故填10.


图3-24

本题的四边形 ABCDABCD 虽然知道了四边的边长, 但是四个顶角是变化的, 我们完全可以令 AA 等于 90∘90^{\circ} , 在此基础上建系, 运算量会小很多.

🔑 解析 2

不妨设 A=90∘A = 90^{\circ} ，以 A 为坐标原点，AD 所在直线为 x 轴，建立如图 3-25 所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)A(0,0) ， D(3,0)D(3,0) ， B(0,1)B(0,1) ，设 C(x,y)C(x,y) ，由 BC = 4，CD = 2，可得

{x2+(y−1)2=16(x−3)2+y2=4⇒{x2+y2−2y=15x2+y2−6x=−5(①)\left\{ \begin{array}{l l} x ^ {2} + (y - 1) ^ {2} = 1 6 \\ (x - 3) ^ {2} + y ^ {2} = 4 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} x ^ {2} + y ^ {2} - 2 y = 1 5 \\ x ^ {2} + y ^ {2} - 6 x = - 5 \end{array} \right.\tag{①}

②

由 ①-② 可得 3x−y=103x - y = 10 , 所以 AC→⋅BD→=(x,y)⋅(3,−1)=3x−y=10\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (x, y) \cdot (3, -1) = 3x - y = 10 , 故填 10.


图3-25

🎯 变式 3.29.1

(2023 泉州三模) 已知平面向量 a, b, c 满足 ∣a∣=1|a| = 1 , b⋅c=0b \cdot c = 0 , a⋅b=1a \cdot b = 1 , a⋅c=−1a \cdot c = -1 , 则 ∣b+c∣|b + c| 的最小值为 ( ). A. 1 B. 2\sqrt{2} C. 2 D. 4