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2.1 基本公式

本小节的内容主要运用正弦定理、余弦定理和面积公式来解决三角形中的一些问题, 重点在于熟练运用这几个基本公式. 我们先从正弦定理开始.

📦 正弦定理

设 △ABC\triangle ABC 的内角 A,B,CA, B, C 的对边分别为 a,b,ca, b, c , 则 asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R , 这里 RR 为 △ABC\triangle ABC 的外接圆半径.

正弦定理的特点在于它揭示了边与其对角之间的对应关系. 这一特点提示我们, 如果题中包含了边角相对的条件, 那么我们可以考虑运用正弦定理.

✍️ 例 2.1

(2020 北京 17 节选) 在 △ABC\triangle ABC 中, a+b=11,cos⁡A=18,cos⁡B=916a + b = 11, \cos A = \frac{1}{8}, \cos B = \frac{9}{16} , 则 a 的值为 ____.

🔑 解析

因为 A, B, C 为三角形的内角，所以 sin⁡A=1−cos⁡2A=378,sin⁡B=1−cos⁡2B=5716\sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A} = \frac{3\sqrt{7}}{8}, \sin B = \sqrt{1 - \cos^{2} B} = \frac{5\sqrt{7}}{16} ，由正弦定理 asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} ，可得 5a = 6b。又因为 a+b=11a + b = 11 ，所以 a = 6。

由于三角形的内角和恒为 180∘180^{\circ} , 所以一些常见的等价变形经常出现在考题之中.

💡 知识点 2.1

在 △ABC\triangle ABC 中，由内角和定理与诱导公式可得(1) sin⁡A=sin⁡(B+C)\sin A = \sin (B + C) ；(2) cos⁡A=−cos⁡(B+C)\cos A = -\cos (B + C) ；(3) sin⁡A2=cos⁡B+C2\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{B + C}{2} .

知识点2.1的推导只要利用 A=π−(B+C)A = \pi - (B + C) 和诱导公式即可。同理，利用 B=π−(A+C)B = \pi - (A + C) 或 C=π−(A+B)C = \pi - (A + B) 与诱导公式可得类似的公式。

✍️ 例 2.2

(2016 全国 II 理 13)△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 cos⁡A=45\cos A = \frac{4}{5} , cos⁡C=513\cos C = \frac{5}{13} , a = 1, 则 b = ____.

🔑 解析

因为 sin⁡A=1−cos⁡2A=35,sin⁡C=1−cos⁡2C=1213\sin A = \sqrt{1 - \cos^2A} = \frac{3}{5},\sin C = \sqrt{1 - \cos^2C} = \frac{12}{13} ，所以

sin⁡B=sin⁡(A+C)=sin⁡Acos⁡C+cos⁡Asin⁡C=35×513+45×1213=6365.\sin B = \sin (A + C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C = \frac {3}{5} \times \frac {5}{1 3} + \frac {4}{5} \times \frac {1 2}{1 3} = \frac {6 3}{6 5}.

由正弦定理 asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} , 得 b=asin⁡Bsin⁡A=2113b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{21}{13} . 故填 2113\frac{21}{13} .

在解三角形时, 若已知两个角和一个边, 则三角形的解是唯一的. 然而, 如果已知两个边和其中一边的对角, 我们就需要讨论三角形解的个数. 在这种情况下, 讨论主要涉及以下知识点:

✍️ 例 2.3

(2017 全国Ⅲ文 15)△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 C=60∘C = 60^{\circ} , b=6b = \sqrt{6} , c = 3, 则 A = ____.

🔑 解析

由正弦定理 bsin⁡B=csin⁡C\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} 得 sin⁡B=bsin⁡Cc=6×323=22\sin B = \frac{b\sin C}{c} = \frac{\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} . 又 b<cb < c , 所以 B<CB < C , 则 B=45∘B = 45^{\circ} , 所以 A=180∘−B−C=180∘−45∘−60∘=75∘A = 180^{\circ} - B - C = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 75^{\circ} . 故填 75∘75^{\circ} .

✍️ 例 2.4

在 △ABC\triangle ABC 中, 已知 a=2,b=6,A=45∘,B=a=2, b=\sqrt{6}, A=45^{\circ}, B= ____.

🔑 解析

由正弦定理 bsin⁡B=asin⁡A\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} 得 sin⁡B=bsin⁡Aa=6×222=32\sin B = \frac{b\sin A}{a} = \frac{\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} . 因为 a<ba < b , 所以 A<BA < B , 因此 B=60∘B = 60^{\circ} 或 120∘120^{\circ} . 故填 60∘60^{\circ} 或 120∘120^{\circ} .

🎯 变式 2.4.1

(2017 全国 I 文 11) 设 △ABC\triangle ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 sin⁡B+sin⁡A(sin⁡C−cos⁡C)=0,a=2,c=2\sin B + \sin A(\sin C - \cos C) = 0, a = 2, c = \sqrt{2} ，则 C=()C = (\quad) . A. π12\frac{\pi}{12} B. π6\frac{\pi}{6} C. π4\frac{\pi}{4} D. π3\frac{\pi}{3}

📦 余弦定理

设 △ABC\triangle ABC 的内角 A,B,CA, B, C 的对边分别为 a,b,ca, b, c , 则 a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A .

📌 标注说明

我们这里只列出了关于内角 A 的余弦公式, 同理可以得到内角 B 和 C 的余弦公式.

正弦定理的特征是边与其对角呈现对应关系, 而余弦定理最大特点是边多角少, 这也是提示我们使用余弦定理的时机是: 在已知所给的三角形的三个元素中, 如果给的条件为已知三边, 或已知两边和任一角, 那么可以考虑用余弦定理解三角形.

✍️ 例 2.5

(2018 全国 II 理 6 文 7) 在 △ABC\triangle ABC 中, cos⁡C2=55\cos \frac{C}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5} , BC=1BC = 1 , AC=5AC = 5 , 则 AB=()AB = (\quad) . A. 424\sqrt{2} B. 30\sqrt{30} C. 29\sqrt{29} D. 252\sqrt{5}

🔑 解析

因为 cos⁡C2=55\cos \frac{C}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5} , 所以 cos⁡C=2cos⁡2C2−1=−35\cos C = 2\cos^2\frac{C}{2} - 1 = -\frac{3}{5} . 由余弦定理可得

AB2=BC2+AC2−2AC⋅BC⋅cos⁡C=52+12−2×5×1×(−35)=32,A B ^ {2} = B C ^ {2} + A C ^ {2} - 2 A C \cdot B C \cdot \cos C = 5 ^ {2} + 1 ^ {2} - 2 \times 5 \times 1 \times \left(- \frac {3}{5}\right) = 3 2,

于是 AB=42AB = 4\sqrt{2} . 故选 A.

🎯 变式 2.5.1

（2021 全国甲文 8）在 △ABC\triangle ABC 中，已知 B=120∘B = 120^{\circ} ， AC=19AC = \sqrt{19} ，AB = 2，则 BC = ( )。 A. 1 B. 2\sqrt{2} C. 5\sqrt{5} D. 3

🎯 变式 2.5.2

(2020 全国Ⅲ理 7) 在 △ABC\triangle ABC 中, cos⁡C=23\cos C = \frac{2}{3} , AC = 4, BC = 3, 则 cos⁡B=()\cos B = (\quad) . A. 19\frac{1}{9} B. 13\frac{1}{3} C. 12\frac{1}{2} D. 23\frac{2}{3}

💡 知识点 2.3

设 △ABC\triangle ABC 的内角 A,B,CA, B, C 所对的边分别为 a,b,ca, b, c , 则 S△ABC=12absin⁡C=12acsin⁡B=12bcsin⁡A.S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{1}{2} bc \sin A.

✍️ 例 2.6

(2020 全国 I 文 18 改编) △ABC\triangle ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 B=150∘B = 150^{\circ} . 若 a=3c,b=27a = \sqrt{3}c, b = 2\sqrt{7} , 则 △ABC\triangle ABC 的面积为 ____.

🔑 解析

由 b2=a2+c2−2accos⁡Bb^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B 得 28=3c2+c2−2×3c2×cos⁡150∘28=3c^{2}+c^{2}-2\times\sqrt{3}c^{2}\times\cos150^{\circ} ，解得 c=-2（舍去），c=2，从而 a=23a=2\sqrt{3} ，所以 △ABC\triangle ABC 的面积为 12×23×2×sin⁡150∘=3\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}\times2\times\sin150^{\circ}=\sqrt{3} 。故填 3\sqrt{3} 。

🎯 变式 2.6.1

（2021 全国乙 15）记 △ABC\triangle ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，面积为 3\sqrt{3} ， B=60∘,a2+c2=3acB = 60^{\circ}, a^{2} + c^{2} = 3ac ，则 b = ____.

🎯 变式 2.6.2

(2017 全国 II 理 17)△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 sin⁡(A+C)=8sin⁡2B2\sin(A+C)=8\sin^{2}\frac{B}{2} . (I) 求 cos⁡B\cos B ; (Ⅱ) 若 a+c=6,△ABCa + c = 6, \triangle ABC 的面积为 2, 求 bb .