1.4 三角函数图像与性质（二）

在 1.3 节我们说过, “三角函数的本质还是函数, 函数可谓是 ‘得图像者得天下’”, 所以掌握好三角函数的图像, 很多问题便迎刃而解. 我们首先介绍平移变换和伸缩变换.

📦 平移变换

(1) 把 $y=f(x)$ 的图像向左平移 $a(a>0)$ 得到函数 $y=f(x+a)$ 的图像.

(2) 把 $y=f(x)$ 的图像向右平移 $a(a>0)$ 得到函数 $y=f(x-a)$ 的图像.

(3) 把 $y=f(x)$ 的图像向上平移 $b(a>0)$ 得到函数 $y=f(x)+b$ 的图像.

(4) 把 $y=f(x)$ 的图像向下平移 $b(a>0)$ 得到函数 $y=f(x)-b$ 的图像.

上述的平移变换可以用一句口诀来总结: “左加右减, 上加下减”.

你或许想过这个问题, 对于 “上加下减” 很好理解, 因为往上 y 变大, 所以要加; 往下 y 变小, 所以要减. 同理, 你是不是就会想, 那往左 x 变小, 肯定也要减啊; 往右 x 变大, 肯定要加啊! 所以不应该是左减右加吗?

难道是我们的口诀错了吗？

我们以函数 $y = \sin x$ 为例来作一个简单的说明, 比如将它的图像向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位后得到什么函数的图像呢? 假设 $(x_0, y_0)$ 是 $y = \sin x$ 图像上的一点, 因为我们将 $y = \sin x$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位, 所以 $(x_0, y_0)$ 被平移至 $(x_1, y_1) = \left( x_0 - \frac{\pi}{3}, y_0 \right)$ . 我们的目标是找出 $x_1$ 和 $y_1$ 的对应关系. 因为 $x_0 = x_1 + \frac{\pi}{3}, y_0 = y_1$ 且 $y_0 = \sin x_0$ , 所以 $y_1 = \sin \left( x_1 + \frac{\pi}{3} \right)$ . 也就是说, $y = \sin x$ 图像上的点向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 后落在 $y = \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$ 的图像上.

总之, 横轴上的变化总有点 “叛逆” 的感觉, 与之类似的是伸缩变换.

📦 伸缩变换

(1) 将 $y = f(x)$ 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 $a (a > 1)$ 倍或缩短到原来的 $a (0 < a < 1)$ 倍, 而纵坐标不变, 得到函数 $y = f\left(\frac{x}{a}\right)$ 的图像.

(2) 将 $y = f(x)$ 的图像上各点的纵坐标伸长到原来的 $A (A > 1)$ 倍或缩短到原来的 $A (0 < A < 1)$ 倍, 而横坐标不变, 得到函数 $y = Af(x)$ 的图像.