1.2.2 凑角

公式的重要性不言而喻，但仅凭公式无法保证三角函数试题的顺利解答．掌握一些基本技巧是必要的，而其中最典型的技巧是凑角，那什么是凑角呢? 什么样的题需要凑角? 又该如何进行凑角? 我们通过下面例题来回答上面的三连问:

例 1.24

（2019 成都二诊）若 $\alpha ,\beta$ 都是锐角，且 $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5},\sin (\alpha -\beta )=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $\sin \beta =()$ . A. $\frac{7\sqrt{2}}{10}$ B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{1}{10}$

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因为 $\beta =\alpha -(\alpha -\beta )$，所以

sin β = sin [ α - (α - β) ] = sin α cos (α - β) - cos α sin (α - β).$$\sin \beta =\sin [\alpha -(\alpha -\beta )]=\sin \alpha \cos (\alpha -\beta )-\cos \alpha \sin (\alpha -\beta ).$$

因此只需求出 $\cos \alpha$ 与 $\cos (\alpha -\beta )$ 的值．因为 $\alpha$ 是锐角，所以 $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$ 又因为 $\beta$ 也是锐角，所以 $\alpha -\beta \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ ，故 $\cos (\alpha -\beta )=\frac{3\sqrt{10}}{10}$ 将它们代入上式可得 $\sin \beta =\frac{\sqrt{2}}{2}$ 故选$B$.

我们回答刚才的问题，凑角是将三个角中的两个角通过加、减或倍数来凑出第三个角，比如例1.24中的 $\alpha ,\alpha -\beta ,\beta$，满足 $\beta =\alpha -(\alpha -\beta )$ .

什么时候凑角呢？一般有以下两个特征的时候，我们考虑凑角：(1)题目中有三个角；(2)已知有一角一函数．

下面的例题和变式始终围绕凑角的两个典型特征展开，同学们仔细体会．

例 1.25

(2014 全国Ⅱ理 14) 函数 $f(x)=\sin (x+2\phi )-2\sin \phi \cos (x+\phi )$ 的最大值为 ____.

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由于函数中含有 $x+2\phi ,x+\phi$ 和 $\phi$ 三个角，且有 $\sin (x+2\phi )$ 和 $\cos (x+\phi )$ 两个一角一函数，故考虑凑角，发现 $x+2\phi =x+(x+\phi )$ ，则

r l f (x) & = sin [ (x + φ) + φ ] - 2 sin φ cos (x + φ) & = sin (x + φ) cos φ + cos (x + φ) sin φ - 2 sin φ cos (x + φ) & = sin (x + φ) cos φ - cos (x + φ) sin φ = sin x.$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sin [(x+\phi )+\phi ]-2\sin \phi \cos (x+\phi )\\ & =\sin (x+\phi )\cos \phi +\cos (x+\phi )\sin \phi -2\sin \phi \cos (x+\phi )\\ & =\sin (x+\phi )\cos \phi -\cos (x+\phi )\sin \phi =\sin x.\end{array}$$

由三角函数的有界性可知 $\sin x\in [-1,1]$，所以函数 $f(x)=\sin x$ 的最大值为 1, 故填 1.

例 1.26

（2023 重庆模拟）已知角 $\alpha ,\beta$ 满足 $\tan \alpha =\frac{1}{3},\sin \beta =2\cos (\alpha +\beta )\sin \alpha ,$ 则 $\tan \beta =()$ . A. $\frac{1}{4}$ B. $\frac{1}{2}$ C.1 D.2

查看解析与步骤

由于题目中含有 $\alpha ,\beta ,\alpha +\beta$ 三个角，且包含一角一函数 $\cos (\alpha +\beta )$ ，故考虑凑角，发现 $\beta =(\alpha +\beta )-\alpha$ ，则 $\sin [(\alpha +\beta )-\alpha ]=2\cos (\alpha +\beta )\sin \alpha$ ，即

sin (α + β) cos α - cos (α + β) sin α = 2 cos (α + β) sin α ,$$\sin (\alpha +\beta )\cos \alpha -\cos (\alpha +\beta )\sin \alpha =2\cos (\alpha +\beta )\sin \alpha ,$$

化简得 $\sin (\alpha +\beta )\cos \alpha =3\cos (\alpha +\beta )\sin \alpha$ ，此为齐二次方程，每一项都除以 $\cos (\alpha +\beta )\cos \alpha$ ，得 $\tan (\alpha +$ $\beta )=3\tan \alpha =3\times \frac{1}{3}=1,$ 所以

tan β = tan [ (α + β) - α ] = frac tan (α + β) - tan α1 + tan (α + β) tan α = frac 12.$$\tan \beta =\tan [(\alpha +\beta )-\alpha ]=\frac{\tan (\alpha +\beta )-\tan \alpha }{1+\tan (\alpha +\beta )\tan \alpha }=\frac{1}{2}.$$

故选B.

变式 1.26.1

（2011 浙江理 6）若 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ ， $-\frac{\pi }{2}<\beta <0$ ， $\cos \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{1}{3}$ ， $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\frac{\beta }{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos \left(\alpha +\frac{\beta }{2}\right)=()$ . A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ C. $\frac{5\sqrt{3}}{9}$ D. $-\frac{\sqrt{6}}{9}$

变式 1.26.2

(2023 浙江联考) 已知 $\tan (\alpha +\beta )$ , $\tan (\alpha -\beta )$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2+mx-4=0$ 的两根，且 $\tan \alpha =\frac{2}{3}$，则 $m=()$ . A. $\frac{9}{5}$ B.4 C.-12 D. $-\frac{10}{3}$

凑角的一个特征是题目中有三个角，但是如果题目中只包含两个角，那么我们把特殊角当成第三个角，然后观察题目中的两个角通过加、减或倍数是否能够凑出特殊角，若能，那么解题方法与前面的例题和变式没有本质的区别．

例 1.27

若 $\sin \left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)=\frac{1}{3}$，则 $\cos \left(\frac{2\pi }{3}+2\alpha \right)=()$ .

A. $-\frac{7}{9}$ B. $-\frac{1}{3}$ C. $\frac{1}{3}$ D. $\frac{7}{9}$

解析1

观察已知角 $\frac{\pi }{6}-\alpha$ 和所求角 $\frac{2\pi }{3}+2\alpha$ ，我们发现 $\left(\frac{2\pi }{3}+2\alpha \right)+2\left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)=\pi ,$ 则 $\cos \left(\frac{2\pi }{3}+2\alpha \right)=\cos \left[\pi -2\left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)\right]=-\cos \left[2\left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)\right]$ $=-\left[1-2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)\right]=-\left[1-2\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2\right]=-\frac{7}{9}.$

故选A.

在解析1 中，我们采用了配凑法，将已知角 $\frac{\pi }{6}-\alpha$ 视为一个整体，并通过适当的运算表示出所求角 $\frac{2\pi }{3}+2\alpha$．如果觉得配凑较为困难，可以考虑换元法．

解析2

令 $\beta =\frac{\pi }{6}-\alpha$ ，则 $\sin \beta =\frac{1}{3}$ 且 $\alpha =\frac{\pi }{6}-\beta$ ，则 $\cos \left(\frac{2\pi }{3}+2\alpha \right)=\cos \left[\frac{2\pi }{3}+2\left(\frac{\pi }{6}-\beta \right)\right]=$ $-\cos 2\beta =-(1-2{\sin }^2\beta )=-\left[1-2\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2\right]=-\frac{7}{9},$ 故选$A$.

例 1.28

(2023 广西柳州三模) 已知 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ ，且 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=3\cos 2\alpha$ ，则 $\sin 2\alpha =()$ . A. $\frac{2}{3}$ B. $\frac{1}{6}$ C. $\frac{1}{3}$ D. $-\frac{5}{6}$

查看解析与步骤

题目中出现了 $\alpha +\frac{\pi }{4}$ 和 $2\alpha$ 两个角，且已知包含一角一函数，故考虑将这两个角凑特殊角，发现 $2\alpha -2\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\pi }{2}$，即 $2\alpha =-\frac{\pi }{2}+2\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$，则由 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=3\cos 2\alpha$ 得

frac sin (α + frac π4)cos (α + frac π4) = 3 sin 2 (α + frac π4) = 6 sin (α + frac π4) cos (α + frac π4).$$\frac{\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)}{\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)}=3\sin 2\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=6\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right).$$

由 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，得 $\alpha +\frac{\pi }{4}\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right)$，从而 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)>0$，所以 ${\cos }^2\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{6}$，即 ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha \right)}^2=\frac{1}{6}$，因此 $\frac{1}{2}(1-\sin 2\alpha )=\frac{1}{6}$，即 $\sin 2\alpha =\frac{2}{3}$，故选 $A$.

变式 1.28.1

(2023 广东联考) 若 $\frac{\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x}{\sin x-\sqrt{3}\cos x}=1$ ，则 $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=$ ____.

变式 1.28.2

(2022 湖南模考) 已知 $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{10}}{10},\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ ，则 $\sin \left(2\theta -\frac{\pi }{6}\right)=$ ____.

前面的例题和变式大部分都是给值求值问题，而给值求角的问题也可以通过给值求值，再知值求角来解决．

例 1.29

已知 $\alpha ,\beta \in (0,\pi )$ ，且 $\tan (\alpha -\beta )=\frac{1}{2}$ ， $\tan \beta =-\frac{1}{7}$ ，则 $2\alpha -\beta$ 的值为 ____.

思路分析

要求 $2\alpha -\beta$ 的值，可以拆成 $\alpha +(\alpha -\beta )$．由于条件中给出了 $\tan (\alpha -\beta )$ 值，但是没有给 $\tan \alpha$，因此需要先求出 $\tan \alpha$ 的值．为了做到这一点，我们构造角度 $\alpha$ 为 $\alpha =(\alpha -\beta )+\beta$，故 $\tan \alpha =\tan [(\alpha -\beta )+\beta ]$ .

查看解析与步骤

$\tan \alpha =\tan [(\alpha -\beta )+\beta ]=\frac{\tan (\alpha -\beta )+\tan \beta }{1-\tan (\alpha -\beta )\tan \beta }=\frac{1}{3}.$ 要求 $2\alpha -\beta$ 的值，则可得

tan (2 α - β) = tan [ α + (α - β) ] = frac tan α + tan (α - β)1 - tan α tan (α - β) = 1,$$\tan (2\alpha -\beta )=\tan [\alpha +(\alpha -\beta )]=\frac{\tan \alpha +\tan (\alpha -\beta )}{1-\tan \alpha \tan (\alpha -\beta )}=1,$$

即 $2\alpha -\beta =k\pi +\frac{\pi }{4}(k\in \mathbb{Z})$ ，需要进一步缩小范围来确定 $k$ 的值．

因为 $\alpha \in (0,\pi )$，且 $\tan \alpha =\frac{1}{3}$，可知 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{6}\right)$．又由 $\beta \in (0,\pi )$，且 $\tan \beta =-\frac{1}{7}$，可知 $\beta \in \left(\frac{5\pi }{6},\pi \right)$．于是 $-\pi <2\alpha -\beta <-\frac{\pi }{2}$，因此 $k=-1$，故 $2\alpha -\beta =-\frac{3\pi }{4}$，故填 $-\frac{3\pi }{4}$ .

本例很明显提示了求 $2\alpha -\beta$ 的正切值。如果条件给出的是正弦或是余弦的三角函数值，求角的大小，我们该如何选取所求角度的三角函数，正弦还是余弦呢？下面通过例子来说明。

例 1.30

已知 $\sin 2\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (\beta -\alpha )=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $\alpha \in \left[\frac{\pi }{4},\pi \right]$ ， $\beta \in \left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$ ，则 $\alpha +\beta$ 的值为（）. A. $\frac{7\pi }{4}$ B. $\frac{9\pi }{4}$ C. $\frac{5\pi }{4}$ 或 $\frac{7\pi }{4}$ D. $\frac{5\pi }{4}$ 或 $\frac{9\pi }{4}$

思路分析

因为 $\alpha \in \left[\frac{\pi }{4},\pi \right]$，且 $\sin 2\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}>0$，所以 $2\alpha \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$，但当 $2\alpha =\frac{\pi }{2}$ 时 $\sin 2\alpha \ne \frac{\sqrt{5}}{5}$，不满足题意，故可得 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$．又 $\beta \in \left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$，所以 $\alpha +\beta \in \left(\frac{5\pi }{4},2\pi \right]$，故可知 $\alpha +\beta$ 落在第三或者第四象限．而正弦值在第三象限与第四象限都是为负数，余弦值在第三象限为负，在第四象限为正，故选择求 $\alpha +\beta$ 的余弦值．

查看解析与步骤

由题意可知 $2\alpha \in \left[\frac{\pi }{2},2\pi \right]$，由 $\sin 2\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$，可知 $2\alpha \in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$，所以 $\cos 2\alpha =-\frac{2\sqrt{5}}{5}$．又因为 $\sin (\beta -\alpha )=\frac{\sqrt{10}}{10}$ , $\beta \in \left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$，所以 $\beta -\alpha \in \left[\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{4}\right]$ , $\cos (\beta -\alpha )=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$，则

cos (α + β) = cos [ (β - α) + 2 α ] = cos (β - α) cos 2 α - sin (β - α) sin 2 α = frac sqrt 22.$$\cos (\alpha +\beta )=\cos [(\beta -\alpha )+2\alpha ]=\cos (\beta -\alpha )\cos 2\alpha -\sin (\beta -\alpha )\sin 2\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

又由 $\alpha +\beta \in \left(\frac{5\pi }{4},2\pi \right]$ ，可得 $\alpha +\beta =\frac{7\pi }{4}$ 故选$A$.

通过对例1.30的分析与解答，我们对这类题进行归纳总结:

经验总结 1.3

给值求角问题的一般原则为给定范围的三角函数值对应唯一角，比如: 若角的范围落在一、二象限，则建议选余弦函数或正切函数; 若角的范围落在二、三象限，则建议选正弦函数或正切函数; 若角的范围落在三、四象限，则选余弦函数或正切函数; 若角的范围落在一、四象限，则选正弦函数或正切函数．