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1.2.2 凑角

公式的重要性不言而喻, 但仅凭公式无法保证三角函数试题的顺利解答. 掌握一些基本技巧是必要的, 而其中最典型的技巧是凑角, 那什么是凑角呢? 什么样的题需要凑角? 又该如何进行凑角? 我们通过下面例题来回答上面的三连问:

✍️ 例 1.24

（2019 成都二诊）若 α,β\alpha, \beta 都是锐角，且 sin⁡α=255,sin⁡(α−β)=1010\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}, \sin(\alpha-\beta)=\frac{\sqrt{10}}{10} ，则 sin⁡β=()\sin\beta=(\quad) . A. 7210\frac{7\sqrt{2}}{10} B. 22\frac{\sqrt{2}}{2} C. 12\frac{1}{2} D. 110\frac{1}{10}

🔑 查看解析与步骤

因为 β=α−(α−β)\beta = \alpha - (\alpha - \beta) , 所以

sin⁡β=sin⁡[α−(α−β)]=sin⁡αcos⁡(α−β)−cos⁡αsin⁡(α−β).\sin \beta = \sin [ \alpha - (\alpha - \beta) ] = \sin \alpha \cos (\alpha - \beta) - \cos \alpha \sin (\alpha - \beta).

因此只需求出 cos⁡α\cos \alpha 与 cos⁡(α−β)\cos (\alpha -\beta) 的值．因为 α\alpha 是锐角，所以 cos⁡α=55\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5} 又因为 β\beta 也是锐角，所以 α−β∈(−π2,π2)\alpha -\beta \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) ，故 cos⁡(α−β)=31010\cos (\alpha -\beta) = \frac{3\sqrt{10}}{10} 将它们代入上式可得 sin⁡β=22\sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} 故选B.

我们回答刚才的问题, 凑角是将三个角中的两个角通过加、减或倍数来凑出第三个角, 比如例1.24中的 α,α−β,β\alpha, \alpha - \beta, \beta , 满足 β=α−(α−β)\beta = \alpha - (\alpha - \beta) .

什么时候凑角呢？一般有以下两个特征的时候，我们考虑凑角：(1)题目中有三个角；(2)已知有一角一函数.

下面的例题和变式始终围绕凑角的两个典型特征展开, 同学们仔细体会.

✍️ 例 1.25

(2014 全国Ⅱ理 14) 函数 f(x)=sin⁡(x+2φ)−2sin⁡φcos⁡(x+φ)f(x)=\sin(x+2\varphi)-2\sin\varphi\cos(x+\varphi) 的最大值为 ____.

🔑 查看解析与步骤

由于函数中含有 x+2φ,x+φx + 2\varphi, x + \varphi 和 φ\varphi 三个角，且有 sin⁡(x+2φ)\sin (x + 2\varphi) 和 cos⁡(x+φ)\cos (x + \varphi) 两个一角一函数，故考虑凑角，发现 x+2φ=x+(x+φ)x + 2\varphi = x + (x + \varphi) ，则

f(x)=sin⁡[(x+φ)+φ]−2sin⁡φcos⁡(x+φ)=sin⁡(x+φ)cos⁡φ+cos⁡(x+φ)sin⁡φ−2sin⁡φcos⁡(x+φ)=sin⁡(x+φ)cos⁡φ−cos⁡(x+φ)sin⁡φ=sin⁡x.\begin{array}{r l} f (x) & = \sin [ (x + \varphi) + \varphi ] - 2 \sin \varphi \cos (x + \varphi) \\ & = \sin (x + \varphi) \cos \varphi + \cos (x + \varphi) \sin \varphi - 2 \sin \varphi \cos (x + \varphi) \\ & = \sin (x + \varphi) \cos \varphi - \cos (x + \varphi) \sin \varphi = \sin x. \end{array}

由三角函数的有界性可知 sin⁡x∈[−1,1]\sin x \in [-1, 1] , 所以函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x 的最大值为 1, 故填 1.

✍️ 例 1.26

（2023 重庆模拟）已知角 α,β\alpha, \beta 满足 tan⁡α=13,sin⁡β=2cos⁡(α+β)sin⁡α,\tan\alpha=\frac{1}{3}, \sin\beta=2\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha, 则 tan⁡β=()\tan\beta=(\quad) . A. 14\frac{1}{4} B. 12\frac{1}{2} C.1 D.2

🔑 查看解析与步骤

由于题目中含有 α,β,α+β\alpha, \beta, \alpha + \beta 三个角，且包含一角一函数 cos⁡(α+β)\cos (\alpha + \beta) ，故考虑凑角，发现 β=(α+β)−α\beta = (\alpha + \beta) - \alpha ，则 sin⁡[(α+β)−α]=2cos⁡(α+β)sin⁡α\sin [(\alpha + \beta) - \alpha] = 2\cos (\alpha + \beta)\sin \alpha ，即

sin⁡(α+β)cos⁡α−cos⁡(α+β)sin⁡α=2cos⁡(α+β)sin⁡α,\sin (\alpha + \beta) \cos \alpha - \cos (\alpha + \beta) \sin \alpha = 2 \cos (\alpha + \beta) \sin \alpha ,

化简得 sin⁡(α+β)cos⁡α=3cos⁡(α+β)sin⁡α\sin (\alpha +\beta)\cos \alpha = 3\cos (\alpha +\beta)\sin \alpha ，此为齐二次方程，每一项都除以 cos⁡(α+β)cos⁡α\cos (\alpha +\beta)\cos \alpha ，得 tan⁡(α+\tan (\alpha + β)=3tan⁡α=3×13=1,\beta) = 3\tan \alpha = 3\times \frac{1}{3} = 1, 所以

tan⁡β=tan⁡[(α+β)−α]=tan⁡(α+β)−tan⁡α1+tan⁡(α+β)tan⁡α=12.\tan \beta = \tan [ (\alpha + \beta) - \alpha ] = \frac {\tan (\alpha + \beta) - \tan \alpha}{1 + \tan (\alpha + \beta) \tan \alpha} = \frac {1}{2}.

故选B.

🎯 变式 1.26.1

（2011 浙江理 6）若 0<α<π20 < \alpha < \frac{\pi}{2} ， −π2<β<0-\frac{\pi}{2} < \beta < 0 ， cos⁡(π4+α)=13\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1}{3} ， cos⁡(π4−β2)=33\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\beta}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} ，则 cos⁡(α+β2)=()\cos\left(\alpha + \frac{\beta}{2}\right) = (\quad) . A. 33\frac{\sqrt{3}}{3} B. −33-\frac{\sqrt{3}}{3} C. 539\frac{5\sqrt{3}}{9} D. −69-\frac{\sqrt{6}}{9}

🎯 变式 1.26.2

(2023 浙江联考) 已知 tan⁡(α+β)\tan(\alpha + \beta) , tan⁡(α−β)\tan(\alpha - \beta) 是关于 x 的方程 x2+mx−4=0x^{2} + mx - 4 = 0 的两根, 且 tan⁡α=23\tan\alpha = \frac{2}{3} , 则 m=()m = (\quad) . A. 95\frac{9}{5} B.4 C.-12 D. −103-\frac{10}{3}

凑角的一个特征是题目中有三个角, 但是如果题目中只包含两个角, 那么我们把特殊角当成第三个角, 然后观察题目中的两个角通过加、减或倍数是否能够凑出特殊角, 若能, 那么解题方法与前面的例题和变式没有本质的区别.

✍️ 例 1.27

若 sin⁡(π6−α)=13\sin\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=\frac{1}{3} , 则 cos⁡(2π3+2α)=()\cos\left(\frac{2\pi}{3}+2\alpha\right)=(\quad) .

A. −79-\frac{7}{9} B. −13-\frac{1}{3} C. 13\frac{1}{3} D. 79\frac{7}{9}

🔑 解析1

观察已知角 π6−α\frac{\pi}{6} -\alpha 和所求角 2π3+2α\frac{2\pi}{3} +2\alpha ，我们发现 (2π3+2α)+2(π6−α)=π,\left(\frac{2\pi}{3} +2\alpha\right) + 2\left(\frac{\pi}{6} -\alpha\right) = \pi , 则 cos⁡(2π3+2α)=cos⁡[π−2(π6−α)]=−cos⁡[2(π6−α)]\cos \left(\frac{2\pi}{3} +2\alpha\right) = \cos \left[\pi -2\left(\frac{\pi}{6} -\alpha\right)\right] = -\cos \left[2\left(\frac{\pi}{6} -\alpha\right)\right] =−[1−2sin⁡2(π6−α)]=−[1−2×(13)2]=−79.= -\left[1 - 2\sin^2\left(\frac{\pi}{6} -\alpha\right)\right] = -\left[1 - 2\times \left(\frac{1}{3}\right)^2\right] = -\frac{7}{9}.

故选A.

在解析 1 中, 我们采用了配凑法, 将已知角 π6−α\frac{\pi}{6} - \alpha 视为一个整体, 并通过适当的运算表示出所求角 2π3+2α\frac{2\pi}{3} + 2\alpha . 如果觉得配凑较为困难, 可以考虑换元法.

🔑 解析2

令 β=π6−α\beta = \frac{\pi}{6} -\alpha ，则 sin⁡β=13\sin \beta = \frac{1}{3} 且 α=π6−β\alpha = \frac{\pi}{6} -\beta ，则 cos⁡(2π3+2α)=cos⁡[2π3+2(π6−β)]=\cos \left(\frac{2\pi}{3} +2\alpha\right) = \cos \left[\frac{2\pi}{3} +2\left(\frac{\pi}{6} -\beta\right)\right] = −cos⁡2β=−(1−2sin⁡2β)=−[1−2×(13)2]=−79,-\cos 2\beta = -(1 - 2\sin^2\beta) = -\left[1 - 2\times \left(\frac{1}{3}\right)^2\right] = -\frac{7}{9}, 故选A.

✍️ 例 1.28

(2023 广西柳州三模) 已知 α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ，且 tan⁡(α+π4)=3cos⁡2α\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 3 \cos 2\alpha ，则 sin⁡2α=()\sin 2\alpha = (\quad) . A. 23\frac{2}{3} B. 16\frac{1}{6} C. 13\frac{1}{3} D. −56-\frac{5}{6}

🔑 查看解析与步骤

题目中出现了 α+π4\alpha + \frac{\pi}{4} 和 2α2\alpha 两个角, 且已知包含一角一函数, 故考虑将这两个角凑特殊角, 发现 2α−2(α+π4)=−π22\alpha - 2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} , 即 2α=−π2+2(α+π4)2\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) , 则由 tan⁡(α+π4)=3cos⁡2α\tan \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 3\cos 2\alpha 得

sin⁡(α+π4)cos⁡(α+π4)=3sin⁡2(α+π4)=6sin⁡(α+π4)cos⁡(α+π4).\frac {\sin \left(\alpha + \frac {\pi}{4}\right)}{\cos \left(\alpha + \frac {\pi}{4}\right)} = 3 \sin 2 \left(\alpha + \frac {\pi}{4}\right) = 6 \sin \left(\alpha + \frac {\pi}{4}\right) \cos \left(\alpha + \frac {\pi}{4}\right).

由 α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , 得 α+π4∈(π4,3π4)\alpha + \frac{\pi}{4} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right) , 从而 sin⁡(α+π4)>0\sin \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) > 0 , 所以 cos⁡2(α+π4)=16\cos^2 \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{6} , 即 (22cos⁡α−22sin⁡α)2=16\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha\right)^2 = \frac{1}{6} , 因此 12(1−sin⁡2α)=16\frac{1}{2}(1 - \sin 2\alpha) = \frac{1}{6} , 即 sin⁡2α=23\sin 2\alpha = \frac{2}{3} , 故选 A.

🎯 变式 1.28.1

(2023 广东联考) 若 sin⁡2x+3cos⁡2xsin⁡x−3cos⁡x=1\frac{\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x}{\sin x - \sqrt{3} \cos x} = 1 ，则 cos⁡(x−π3)=\cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right) = ____.

🎯 变式 1.28.2

(2022 湖南模考) 已知 cos⁡(θ+π4)=1010,θ∈(0,π2)\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{10}}{10},\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) ，则 sin⁡(2θ−π6)=\sin\left(2\theta-\frac{\pi}{6}\right)= ____.

前面的例题和变式大部分都是给值求值问题, 而给值求角的问题也可以通过给值求值, 再知值求角来解决.

✍️ 例 1.29

已知 α,β∈(0,π)\alpha, \beta \in (0, \pi) ，且 tan⁡(α−β)=12\tan(\alpha - \beta) = \frac{1}{2} ， tan⁡β=−17\tan\beta = -\frac{1}{7} ，则 2α−β2\alpha - \beta 的值为 ____.

🧠 思路分析

要求 2α−β2\alpha - \beta 的值, 可以拆成 α+(α−β)\alpha + (\alpha - \beta) . 由于条件中给出了 tan⁡(α−β)\tan (\alpha - \beta) 值, 但是没有给 tan⁡α\tan \alpha , 因此需要先求出 tan⁡α\tan \alpha 的值. 为了做到这一点, 我们构造角度 α\alpha 为 α=(α−β)+β\alpha = (\alpha - \beta) + \beta , 故 tan⁡α=tan⁡[(α−β)+β]\tan \alpha = \tan [(\alpha - \beta) + \beta] .

🔑 查看解析与步骤

tan⁡α=tan⁡[(α−β)+β]=tan⁡(α−β)+tan⁡β1−tan⁡(α−β)tan⁡β=13.\tan \alpha = \tan [(\alpha -\beta) + \beta ] = \frac{\tan(\alpha - \beta) + \tan\beta}{1 - \tan(\alpha - \beta)\tan\beta} = \frac{1}{3}. 要求 2α−β2\alpha -\beta 的值,则可得

tan⁡(2α−β)=tan⁡[α+(α−β)]=tan⁡α+tan⁡(α−β)1−tan⁡αtan⁡(α−β)=1,\tan (2 \alpha - \beta) = \tan [ \alpha + (\alpha - \beta) ] = \frac {\tan \alpha + \tan (\alpha - \beta)}{1 - \tan \alpha \tan (\alpha - \beta)} = 1,

即 2α−β=kπ+π4(k∈Z)2\alpha - \beta = k\pi + \frac{\pi}{4} (k \in \mathbb{Z}) ，需要进一步缩小范围来确定 kk 的值.

因为 α∈(0,π)\alpha \in (0, \pi) , 且 tan⁡α=13\tan \alpha = \frac{1}{3} , 可知 α∈(0,π6)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) . 又由 β∈(0,π)\beta \in (0, \pi) , 且 tan⁡β=−17\tan \beta = -\frac{1}{7} , 可知 β∈(5π6,π)\beta \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) . 于是 −π<2α−β<−π2-\pi < 2\alpha - \beta < -\frac{\pi}{2} , 因此 k=−1k = -1 , 故 2α−β=−3π42\alpha - \beta = -\frac{3\pi}{4} , 故填 −3π4-\frac{3\pi}{4} .

本例很明显提示了求 2α−β2\alpha - \beta 的正切值。如果条件给出的是正弦或是余弦的三角函数值，求角的大小，我们该如何选取所求角度的三角函数，正弦还是余弦呢？下面通过例子来说明。

✍️ 例 1.30

已知 sin⁡2α=55\sin2\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5} ， sin⁡(β−α)=1010\sin(\beta-\alpha)=\frac{\sqrt{10}}{10} ，且 α∈[π4,π]\alpha\in\left[\frac{\pi}{4},\pi\right] ， β∈[π,3π2]\beta\in\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right] ，则 α+β\alpha+\beta 的值为（）. A. 7π4\frac{7\pi}{4} B. 9π4\frac{9\pi}{4} C. 5π4\frac{5\pi}{4} 或 7π4\frac{7\pi}{4} D. 5π4\frac{5\pi}{4} 或 9π4\frac{9\pi}{4}

🧠 思路分析

因为 α∈[π4,π]\alpha \in \left[\frac{\pi}{4},\pi \right] , 且 sin⁡2α=55>0\sin 2\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5} >0 , 所以 2α∈[π2,π]2\alpha \in \left[\frac{\pi}{2},\pi \right] , 但当 2α=π22\alpha = \frac{\pi}{2} 时 sin⁡2α≠55\sin 2\alpha \neq \frac{\sqrt{5}}{5} , 不满足题意, 故可得 α∈(π4,π2]\alpha \in \left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right] . 又 β∈[π,3π2]\beta \in \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right] , 所以 α+β∈(5π4,2π]\alpha + \beta \in \left(\frac{5\pi}{4},2\pi\right] , 故可知 α+β\alpha + \beta 落在第三或者第四象限. 而正弦值在第三象限与第四象限都是为负数, 余弦值在第三象限为负, 在第四象限为正, 故选择求 α+β\alpha + \beta 的余弦值.

🔑 查看解析与步骤

由题意可知 2α∈[π2,2π]2\alpha \in \left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right] , 由 sin⁡2α=55\sin 2\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5} , 可知 2α∈[π2,π]2\alpha \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] , 所以 cos⁡2α=−255\cos 2\alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5} . 又因为 sin⁡(β−α)=1010\sin (\beta - \alpha) = \frac{\sqrt{10}}{10} , β∈[π,3π2]\beta \in \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right] , 所以 β−α∈[π2,5π4]\beta - \alpha \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4}\right] , cos⁡(β−α)=−31010\cos (\beta - \alpha) = -\frac{3\sqrt{10}}{10} , 则

cos⁡(α+β)=cos⁡[(β−α)+2α]=cos⁡(β−α)cos⁡2α−sin⁡(β−α)sin⁡2α=22.\cos (\alpha + \beta) = \cos [ (\beta - \alpha) + 2 \alpha ] = \cos (\beta - \alpha) \cos 2 \alpha - \sin (\beta - \alpha) \sin 2 \alpha = \frac {\sqrt {2}}{2}.

又由 α+β∈(5π4,2π]\alpha +\beta \in \left(\frac{5\pi}{4},2\pi \right] ，可得 α+β=7π4\alpha +\beta = \frac{7\pi}{4} 故选A.

通过对例1.30的分析与解答, 我们对这类题进行归纳总结:

📦 经验总结 1.3

给值求角问题的一般原则为给定范围的三角函数值对应唯一角, 比如: 若角的范围落在一、二象限, 则建议选余弦函数或正切函数; 若角的范围落在二、三象限, 则建议选正弦函数或正切函数; 若角的范围落在三、四象限, 则选余弦函数或正切函数; 若角的范围落在一、四象限, 则选正弦函数或正切函数.