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1.2.1 齐次式

齐次式是什么意思呢？在高中阶段，我们接触到的齐次式主要是指二元齐次式，包括分式型、方程型和不等式型。这三种形式都有一个共同的特点：每一项的次数是相同的。齐次式的主要作用是进行消元，例如：

(1) x2+3xyy2+2x2\frac{x^2 + 3xy}{y^2 + 2x^2} 为分式型齐次式，它的每一项的次数都为 2，如果将每项都除以 x2x^2 ，那么会得到 1+3⋅yx(yx)2+2\frac{1 + 3 \cdot \frac{y}{x}}{\left(\frac{y}{x}\right)^2 + 2} . 令 t=yxt = \frac{y}{x} ，则得到 1+3tt2+2\frac{1 + 3t}{t^2 + 2} ，我们就将二元化为一元了.

(2) 2a2−c2−ac>02a^{2}-c^{2}-ac>0 为不等式型齐次式, 它的每一项的次数都为2, 如果每项都除以 a2a^{2} , 那么会得到 2−(ca)2−ca>02-\left(\frac{c}{a}\right)^{2}-\frac{c}{a}>0 , 令 e=cae=\frac{c}{a} , 则 2−e−e2>02-e-e^{2}>0 , 我们就得到一元二次不等式了.

在三角函数中, 我们见到的大多是关于 sin⁡α,cos⁡α\sin \alpha, \cos \alpha 的二元齐次式, 结合商数关系, 我们可以将二元齐次式化成关于 tan⁡α\tan \alpha 的一元分式、方程或不等式, 比如下面这道例题:

✍️ 例 1.19

（2009 陕西文 2）若 tan⁡α=2\tan \alpha = 2 , 则 2sin⁡α−cos⁡αsin⁡α+2cos⁡α\frac{2 \sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + 2 \cos \alpha} 的值是 ( )

A. 0 B. 34\frac{3}{4} C. 1 D. 54\frac{5}{4}

🔑 查看解析与步骤

将原式分子分母都除以 cos⁡α\cos \alpha 可得 2sin⁡α−cos⁡αsin⁡α+2cos⁡α=2tan⁡α−1tan⁡α+2=34\frac{2\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + 2\cos\alpha} = \frac{2\tan\alpha - 1}{\tan\alpha + 2} = \frac{3}{4} , 故选 B.

一般情况下题目不会直接给齐次式, 需要我们先做适当的变形, 然后构造齐次式, 最后齐次化切求解.

✍️ 例 1.20

（2023 广东湛江二模-多选题）若 5sin⁡2α+5cos⁡2α+1=05\sin2\alpha+5\cos2\alpha+1=0 ，则 tan⁡α\tan\alpha 的值可能为 ( ).

A. 2 B. 3 C. −13-\frac{1}{3} D. −12-\frac{1}{2}

🔑 查看解析与步骤

本题求的是切, 但已知条件给的是关于弦的方程, 故我们考虑将方程化成关于弦的齐次方程, 然后再齐次化切. 原方程等价于 10sin⁡αcos⁡α+5(cos⁡2α−sin⁡2α)+cos⁡2α+sin⁡2α=010 \sin \alpha \cos \alpha + 5 (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 0 , 整理得 2sin⁡2α−5sin⁡αcos⁡α−3cos⁡2α=02 \sin^2 \alpha - 5 \sin \alpha \cos \alpha - 3 \cos^2 \alpha = 0 , 此方程是关于 sin⁡α,cos⁡α\sin \alpha, \cos \alpha 的齐二次方程, 每一项都除以 cos⁡2α\cos^2 \alpha , 得 2tan⁡2α−5tan⁡α−3=02 \tan^2 \alpha - 5 \tan \alpha - 3 = 0 , 解得 tan⁡α=3\tan \alpha = 3 或 tan⁡α=−12\tan \alpha = -\frac{1}{2} , 故选 BD.

与方程、不等式不同, 如果将二次代数式化成齐次式, 我们一般要先化成分式, 而化成分式, 就会用到 sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 .

✍️ 例 1.21

（2016 全国 III 理 5）已知 tan⁡α=34\tan \alpha = \frac{3}{4} , 则 cos⁡2α+2sin⁡2α=()\cos^2\alpha + 2\sin 2\alpha = (\quad) .

A. 6425\frac{64}{25} B. 4825\frac{48}{25} C. 1 D. 1625\frac{16}{25}

🔑 查看解析与步骤

所求的式子并不是分式, 但注意到所求式是二次式, 利用 sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 可得 cos⁡2α+2sin⁡2α=cos⁡2α+4sin⁡αcos⁡αsin⁡2α+cos⁡2α=1+4tan⁡αtan⁡2α+1\cos^2\alpha + 2\sin 2\alpha = \frac{\cos^2\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = \frac{1 + 4\tan\alpha}{\tan^2\alpha + 1} . 因为 tan⁡α=34\tan \alpha = \frac{3}{4} , 所以代入得 1+4×341+(34)2=6425\frac{1 + 4 \times \frac{3}{4}}{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{64}{25} , 故选 A.

如果所给的代数式不是二次的, 而是一次的, 此时需要先平方再利用平方和关系, 见下例:

✍️ 例 1.22

（2013 浙江理 6 节选）已知 α∈R\alpha \in \mathbb{R} , sin⁡α+2cos⁡α=102\sin \alpha + 2\cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{2} , 则 tan⁡α=\tan \alpha = ____.

🔑 查看解析与步骤

将 sin⁡α+2cos⁡α=102\sin \alpha + 2\cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{2} 平方可得 sin⁡2α+4cos⁡2α+4sin⁡αcos⁡α=52\sin^2\alpha + 4\cos^2\alpha + 4\sin \alpha\cos \alpha = \frac{5}{2} , 利用 sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 可得 sin⁡2α+4cos⁡2α+4sin⁡αcos⁡αsin⁡2α+cos⁡2α=tan⁡2α+4+4tan⁡αtan⁡2α+1=52\frac{\sin^2\alpha + 4\cos^2\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = \frac{\tan^2\alpha + 4 + 4\tan\alpha}{\tan^2\alpha + 1} = \frac{5}{2} ,

化简可得 3tan⁡2α−8tan⁡α−3=03\tan^2\alpha - 8\tan \alpha - 3 = 0 ，因式分解可得 (tan⁡α−3)(3tan⁡α+1)=0(\tan \alpha - 3)(3\tan \alpha + 1) = 0 ，所以 tan⁡α=−13\tan \alpha = -\frac{1}{3} 或 tan⁡α=3\tan \alpha = 3 ，故填 −13-\frac{1}{3} 或 3.

三角函数中的“齐次化切”是一个很重要的技巧, 现总结如下:

🎯 变式 1.22.1

（2022 山西二模）若 sin⁡10∘=asin⁡100∘\sin10^{\circ}=a\sin100^{\circ} ，则 sin⁡20∘=()\sin20^{\circ}=(\quad) .

A. aa2+1\frac{a}{a^{2}+1} B. −aa2+1-\frac{a}{a^{2}+1} C. 2aa2+1\frac{2a}{a^{2}+1} D. −2aa2+1-\frac{2a}{a^{2}+1}

🎯 变式 1.22.2

（2021 新高考 I 6）若 tan⁡α=−2\tan\alpha=-2 ，则 sin⁡α(1+sin⁡2α)sin⁡α+cos⁡α=()\frac{\sin\alpha(1+\sin2\alpha)}{\sin\alpha+\cos\alpha}=(\quad) .

A. −65-\frac{6}{5} B. −25-\frac{2}{5} C. 25\frac{2}{5} D. 65\frac{6}{5}

在高中阶段, 我们接触的齐次式主要是二元的, 但是对二元以上的齐次式也不应该感到陌生. 同学们还记得两角和或差的正切公式是怎么推导出来的吗? 我们回忆一下:

tan⁡(α+β)=sin⁡(α+β)cos⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β.\tan (\alpha + \beta) = \frac {\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)} = \frac {\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}.

观察上式, 你会发现它是关于 sin⁡α,cos⁡α,sin⁡β,cos⁡β\sin \alpha, \cos \alpha, \sin \beta, \cos \beta 的四元齐二次式, 每一项都除以 cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta 就能齐次化切, 过程如下所示:

tan⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡βcos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β.\tan (\alpha + \beta) = \frac {\frac {\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac {\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac {\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} - \frac {\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} = \frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}.

给大家强调一下, 课本上的公式不能只是记住就行了, 必须会推导, 比如下面这道题就是两角和或差的正切公式的翻版.

✍️ 例 1.23

（2015 重庆理 9）若 tan⁡α=2tan⁡π5\tan\alpha=2\tan\frac{\pi}{5} ，则 cos⁡(α−3π10)sin⁡(α−π5)=()\frac{\cos\left(\alpha-\frac{3\pi}{10}\right)}{\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{5}\right)}=(\quad) .

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

🧠 思路分析

因为已知 tan⁡α=2tan⁡π5\tan \alpha = 2\tan \frac{\pi}{5} , 所以所求分式考虑构造关于 α\alpha 的正、余弦的齐次式, 还有关于 π5\frac{\pi}{5} 的正、余弦的齐次式, 发现 3π10=π2−π5\frac{3\pi}{10} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} , 代入后分别利用诱导公式和两角和差展开, 即可构造关于正弦和余弦的齐次式, 然后齐次化切即可得到 tan⁡α\tan \alpha 和 tan⁡π5\tan \frac{\pi}{5} .

🔑 查看解析与步骤

因为 3π10=π2−π5,tan⁡α=2tan⁡π5\frac{3\pi}{10} = \frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{5},\tan \alpha = 2\tan \frac{\pi}{5} ，所以

cos⁡(α−3π10)sin⁡(α−π5)=cos⁡[α−(π2−π5)]sin⁡(α−π5)=cos⁡[(α+π5)−π2]sin⁡(α−π5)=sin⁡(α+π5)sin⁡(α−π5)=sin⁡αcos⁡π5+cos⁡αsin⁡π5sin⁡αcos⁡π5−cos⁡αsin⁡π5=tan⁡α+tan⁡π5tan⁡α−tan⁡π5=2tan⁡π5+tan⁡π52tan⁡π5−tan⁡π5\begin{array}{r} \frac {\cos (\alpha - \frac {3 \pi}{1 0})}{\sin (\alpha - \frac {\pi}{5})} = \frac {\cos [ \alpha - (\frac {\pi}{2} - \frac {\pi}{5}) ]}{\sin (\alpha - \frac {\pi}{5})} = \frac {\cos [ (\alpha + \frac {\pi}{5}) - \frac {\pi}{2} ]}{\sin (\alpha - \frac {\pi}{5})} = \frac {\sin (\alpha + \frac {\pi}{5})}{\sin (\alpha - \frac {\pi}{5})} \\ = \frac {\sin \alpha \cos \frac {\pi}{5} + \cos \alpha \sin \frac {\pi}{5}}{\sin \alpha \cos \frac {\pi}{5} - \cos \alpha \sin \frac {\pi}{5}} = \frac {\tan \alpha + \tan \frac {\pi}{5}}{\tan \alpha - \tan \frac {\pi}{5}} = \frac {2 \tan \frac {\pi}{5} + \tan \frac {\pi}{5}}{2 \tan \frac {\pi}{5} - \tan \frac {\pi}{5}} \end{array}

故选C.