78 4.2.2 参数方程

以点 $(a,b)$ 为圆心, $r$ 为半径的圆的标准方程为 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ , 两边同时除以 $r^2$ , 得 ${\left(\frac{x-a}{r}\right)}^2+{\left(\frac{y-b}{r}\right)}^2=1$ , 分别令 $\frac{x-a}{r}=\cos \theta$ , $\frac{y-b}{r}=\sin \theta$ , 我们得到圆的参数方程.

知识点 4.9

以 $(a,b)$ 为圆心, $r$ 为半径的圆的参数方程为 $\{\begin{array}{rl}x& =a+r\cos \theta \\ y& =b+r\sin \theta \end{array}$ , 其中 $\theta$ 为参数,且 $\theta \in [0,2\pi )$ , 参数 $\theta$ 的几何意义是圆上动点和圆心连线的旋转角.

例 4.19

(2021 全国乙 22) 在直角坐标系 xOy 中, $\odot C$ 的圆心为 $C(2,1)$ , 半径为 1. 写出 $\odot C$ 的一个参数方程.

查看解析与步骤

因为圆心为(2,1)，半径为1，故圆 $C$ 参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2+\cos \theta \\ y=1+\sin \theta \end{array}$ ，其中 $\theta$ 为参数.

圆的参数方程有什么用呢？最大的作用是求最值，利用参数方程，我们可以将圆上的任意一点表示为 $(a+r\cos \theta ,b+r\sin \theta )$ ，然后将问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有界性求最值，请看下面的例题：

例 4.20

（2023 全国乙文 11）已知实数 $x$, $y$ 满足 $x^2+y^2-4x-2y-4=0$ ，则 x - y 的最大值是（）.

A. $1+\frac{3\sqrt{2}}{2}$ B.4 C. $1+3\sqrt{2}$ D.7

查看解析与步骤

圆的标准方程为 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=9$ ，故参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2+3\cos \theta \\ y=1+3\sin \theta \end{array}$ （其中 $\theta$ 为参数），于是 $x-y=3\cos \theta -3\sin \theta +1=3\sqrt{2}\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)+1⩽3\sqrt{2}+1.$

当 $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=1$ ，即 $\theta +\frac{\pi }{4}=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 时取得最大值，故选$C$.

变式 4.20.1

(2023 湖南模拟) 若点 $A(m,n)$ 在圆 $C:x^2+y^2-2x-8y+1=0$ 上, 则 $\frac{n}{m+4}$ 的取值范围为 ( ).

A. $\left[0,\frac{35}{9}\right]$ B. $\left[0,\frac{40}{9}\right]$ C. [0,4]

D. $\left(-\infty ,\frac{35}{9}\right]$