1.4.1 三角函数图像的平移和伸缩

接下来, 我们首先将上述的总结应用到具体的三角函数. 还是以 $y=\sin x$ 为例, 介绍如何将它变换到 $y=A\sin (\omega x+\phi )(A>0,\omega >0)$ 的图像. 设 $\phi >0$ , 我们给出如下两种变换途径:

因为 $y=\sin (\omega x+\phi )=\sin \left[\omega \left(x+\frac{\phi }{\omega }\right)\right]$ 且 $\phi >0$ ，所以由 $y=\sin \omega x$ 得到 $y=\sin (\omega x+\phi )$ ，需要向左平移 $\frac{\phi }{\omega }$ 个单位长度，而不是 $\phi$ 个单位长度.

另外, 若 $\phi <0$ , 只需将上述变换中的“向左平移 $\phi$ 个单位”换成“向右平移 $|\phi |$ 个单位”“向左平移 $\frac{\phi }{\omega }$ 个单位”换成“向右平移 $\frac{|\phi |}{\omega }$ 个单位”, 其余保持不变.

例 1.46

(2022 浙江 6) 为了得到函数 $y=2\sin 3x$ 的图像, 只要把函数 $y=2\sin \left(3x+\frac{\pi }{5}\right)$ 图像上所有的点 ( ). A. 向左平移 $\frac{\pi }{5}$ 个单位长度 $B$. 向右平移 $\frac{\pi }{5}$ 个单位长度 $C$. 向左平移 $\frac{\pi }{15}$ 个单位长度 $D$. 向右平移 $\frac{\pi }{15}$ 个单位长度

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因为 $y=2\sin \left(3x+\frac{\pi }{5}\right)=2\sin \left[3\left(x+\frac{\pi }{15}\right)\right]$ ，所以按照“左加右减”原则可知，只需将它向右平移 $\frac{\pi }{15}$ 个单位就能得到 $y=2\sin 3x$ 图像，故选$D$.

如果平移前后的函数名没有发生改变, 直接进行变换即可, 但如果三角函数平移前与平移后三角名称发生了变化, 我们首先要把三角名称进行统一然后再进行变换.

例 1.47

(2013 全国 II 文 16) 函数 $y=\cos (2x+\phi )(-\pi ⩽\phi ⩽\pi )$ 的图像向右平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位后, 与函数 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图像重合, 则 $\phi =$ ____ .

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由 $y=\cos (2x+\phi )=\sin \left(2x+\phi +\frac{\pi }{2}\right)$ ，图像向右平移 $\frac{\pi }{2}$ 得

$$y=\sin \left[2\left(x-\frac{\pi }{2}\right)+\phi +\frac{\pi }{2}\right]=\sin \left(2x+\phi -\frac{\pi }{2}\right)$$

因为平移后的图像与函数 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图像重合, 所以

$$2x+\phi -\frac{\pi }{2}=2x+\frac{\pi }{3}+2k\pi (k\in \mathbb{Z}),$$

解得 $\phi =\frac{5\pi }{6}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ . 因为 $-\pi ⩽\phi ⩽\pi$ , 所以 $k=0,\phi =\frac{5\pi }{6}$ , 故填 $\frac{5\pi }{6}$ .

三角函数的平移变换, 很多时候都与伸缩变换一起考查. 变换的方式为 “先伸缩后平移” 或 “先平移后伸缩”, 下面例题为 “先伸缩后平移”.

例 1.48

(2017 全国 $I$ 理 9) 已知曲线 $C_1:y=\cos x,C_2:y=\sin \left(2x+\frac{2\pi }{3}\right)$ ，则下面结论正确的是（）. A. 把 $C_1$ 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位，得到 $C_2$ B. 把 $C_1$ 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位，得到 $C_2$ C. 把 $C_1$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再把得到的曲线向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位，得到 $C_2$ D. 把 $C_1$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再把得到的曲线向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位，得到 $C_2$

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$C_2:y=\sin \left(2x+\frac{2\pi }{3}\right)=\cos \left[\frac{\pi }{2}-\left(2x+\frac{2\pi }{3}\right)\right]=\cos \left[-\left(2x+\frac{\pi }{6}\right)\right]=\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right).$ 结合选项，先伸缩再平移，即由 $C_1$ 图像横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $y=\cos 2x$ ，再将它向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 得到曲线 $C_2$ ，故选$D$.

对于图像变换问题, 需明确函数图像变换的先后顺序, 弄清楚谁是变换前的函数图像, 谁是变换后的函数图像, 已知变换后的函数图像, 求变换前的函数图像, 常对变换后的图像做相反的变换即可, 比如下例, 做相反变换就是 “先平移后伸缩”.

例 1.49

(2021 全国 $I$ 理 7) 把函数 $y=f(x)$ 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 纵坐标不变, 再把所得曲线向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度, 得到函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 的图像, 则 $f(x)=()$ . A. $\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{7\pi }{12}\right)$ B. $\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{12}\right)$ C. $\sin \left(2x-\frac{7\pi }{12}\right)$ D. $\sin \left(2x+\frac{\pi }{12}\right)$

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将函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi }{3}$ ，得 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{12}\right)$ ; 再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍, 得 $f(x)=\sin \left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{12}\right)$ ，故选 $B$.

变式 1.49.1

(2019 天津 7) 已知函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )(A>0,\omega >0,|\phi |<\pi )$ 是奇函数，将 $y=f(x)$ 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变)，所得图像对应的函数为 $g(x)$ ，若 $g(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$ ，且 $g\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$ ，则 $f\left(\frac{3\pi }{8}\right)=()$ . A. -2 B. $-\sqrt{2}$ C. $\sqrt{2}$ D. 2

变式 1.49.2

(2022 全国甲文 5)已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{3}\right)(\omega >0)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位后得到曲线 $C$, 若曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称, 则 $\omega$ 的最小值是 ( ). A. $\frac{1}{6}$ B. $\frac{1}{4}$ C. $\frac{1}{3}$ D. $\frac{1}{2}$