1.3.3 对称性

观察三角函数的图像 (图 1-1～图 1-3), 可以得到如下关于对称性的结论. 后面稍微有些难度的题, 几乎都有它的身影.

知识点 1.7

（1）函数 $y=\sin x$ 的对称中心为 $(k\pi ,0)$ , $k\in Z$ ，对称轴为 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ , $k\in Z$ . (2) 函数 $y=\cos x$ 的对称中心为 $\left(\frac{\pi }{2}+k\pi ,0\right)$ , $k\in Z$ , 对称轴为 $x=k\pi ,k\in Z$ . (3) 函数 $y=\tan x$ 的对称中心为 $\left(\frac{k\pi }{2},0\right)$ , $k\in Z$ .

例 1.39

（2025 新高考 I4）已知点 $(a,0)(a>0)$ 是函数 $y=2\tan \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 的图像的一个对称中心，则 $a$ 的最小值为（）. A. $\frac{\pi }{6}$ B. $\frac{\pi }{3}$ C. $\frac{\pi }{2}$ D. $\frac{4\pi }{3}$

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因为点 $(a,0)(a>0)$ 是函数 $y=2\tan \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 的图像的一个对称中心，且 $y=\tan x$ 的对称中心为 $\left(\frac{k\pi }{2},0\right),k\in \mathbb{Z}$ ，所以 $a-\frac{\pi }{3}=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z},$ 即 $a=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}.$ 又 $a>0,$ 所以当 $k=0$ 时， $a$ 取得最小值 $\frac{\pi }{3}$ ，故选$B$.

变式 1.39.1

如果函数 $y=3\cos (2x+\phi )$ 的图像关于点 $\left(\frac{4\pi }{3},0\right)$ 中心对称, 那么 $|\phi |$ 的最小值为 ( ). A. $\frac{\pi }{6}$ B. $\frac{\pi }{4}$ C. $\frac{\pi }{3}$ D. $\frac{\pi }{2}$

例 1.40

(2022 全国乙理 15) 记函数 $f(x)=\cos (\omega x+\phi )(\omega >0,0<\phi <\pi )$ 的最小正周期为 $T$，若 $f(T)=\frac{\sqrt{3}}{2},x=\frac{\pi }{9}$ 为 $f(x)$ 的零点，则 $\omega$ 的最小值为 ____.

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因为 $f(x)=\cos (\omega x+\phi )(\omega >0,0<\phi <\pi )$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ , 所以 $f(T)=\cos \left(\omega \cdot \frac{2\pi }{\omega }+\phi \right)=\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ . 因为 $0<\phi <\pi$ , 所以 $\phi =\frac{\pi }{6}$ , 可得 $f(x)=\cos \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$ . 又由 $x=\frac{\pi }{9}$ 为 $f(x)$ 的零点, 可得 $\frac{\pi }{9}\omega +\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ , 解得 $\omega =3+9k,k\in \mathbb{Z}$ . 又因为 $\omega >0$ , 所以 $k=0$ 时, 可知 $\omega$ 最小值为 3, 故填 3.

变式 1.40.1

（2022 新高考 I 6）记函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)+b(\omega >0)$ 的最小正周期为 $T$，若 $\frac{2\pi }{3}<T<\pi ,$ 且 $y=f(x)$ 的图像关于点 $\left(\frac{3\pi }{2},2\right)$ 中心对称，则 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=()$ . A. 1 B. $\frac{3}{2}$ C. $\frac{5}{2}$ D. 3