3.5.4 不等式

根据数量积的定义可知 $a\cdot b=|a||b|\cos \theta$ , 其中 $\theta$ 为 $a$ 与 $b$ 的夹角, 而 $\cos \theta \in [-1,1]$ , 则有 $-|a||b|⩽|a||b|\cos \theta ⩽|a||b|$ , 即 $-|a||b|⩽a\cdot b⩽|a||b|$ . 这就是向量不等式.

例 3.60

已知 $a$ 是平面内的单位向量, 若 $a\cdot b=b^2$ , 则 $|b|$ 的取值范围是 ____.

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根据题意可知 $|a|=1$ ，条件中 $a\cdot b=b^2$ ，则 $a\cdot b⩽|a|\cdot |b|$ ，得 $b^2⩽|a|\cdot |b|$ ，可得 $|b{|}^2⩽|b|$ ，则 $|b|\in [0,1]$ ，故填 $[0,1]$ .

例 3.61

对于同一平面内的单位向量 $a$, $b$, $c$, 若 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $60^{\circ }$ ，则 $(a-b)\cdot (a-2c)$ 的最大值为（）. A. $\frac{3}{2}$ B.2 C. $\frac{5}{2}$ D.3

思路分析

根据题意可知 $|a|=|b|=|c|=1$ ，又因为 $a$ 与 $b$ 的夹角为 $60^{\circ }$ ，则 $a\cdot b=\frac{1}{2}$ 。接下来就是如何处理问题了。第一种方式就是直接用不等式 $(a-b)\cdot (a-2c)⩽|a-b||a-2c|$ ，现在只需求出 $|a-b|$ 与 $|a-2c|$ 的值， $|a-b|=\sqrt{a^2-2ab+b^2}=1$ 。发现 $|a-2c|$ 并不是一个具体确定的值，因此无法求解，所以第一种办法行不通。第二种方式就是直接展开，具体见解析。

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$(a-b)\cdot (a-2c)=a^2-a\cdot b-2a\cdot c+2b\cdot c=\frac{1}{2}+2c\cdot (b-a)⩽\frac{1}{2}+2|c||b-a|$ ，由分析可知 $|a-b|=\sqrt{a^2-2ab+b^2}=1,$ 则 $|c||b-a|=1,$ 所以 $(a-b)\cdot (a-2c)⩽\frac{5}{2}$ 当且仅当 $b-a$ 与 $c$ 同向时取得等号．故选$C$.

变式 3.61.1

(2009 全国 $I$ 理 6) 设 $a$, $b$, $c$ 是单位向量, 且 $a\cdot b=0$ , 则 $(a-c)\cdot (b-c)$ 的最小值为 ( ).

A. -2 B. $\sqrt{2}-2$ C. -1 D. $1-\sqrt{2}$

例 3.62

(2012 安徽理 14) 若平面向量 $a$, $b$ 满足 $\left|2a-b\right|⩽3$ ，则 $a\cdot b$ 的最小值是 ____.

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$|2a-b{|}^2=4a^2+b^2-4a\cdot b⩾-4a\cdot b-4a\cdot b=-8a\cdot b.$ 因为 $|2a-b{|}^2⩽9,$ 所以 $a\cdot b⩾-\frac{9}{8},$ 当且仅当 2a=-b 且 $|2a-b|=3$ 时等号成立，故填 $-\frac{9}{8}.$

本题表面上依然是数量积求最值, 但是却不是直接由数量积不等式得到最值. 而是由数量积不等式 $4a\cdot (-b)⩽4|a||b|$ 与均值不等式 $4|a||b|⩽4a^2+b^2$ 传递得到结果的, 同时使用两次不等式极易出错, 这也决定了该题的难度是非常高的.

既然是不等式, 那么对于不等式取最值, 都得注意等号成立的条件, 向量不等式求最值也是一样. 向量不等式的最值往往都在两向量共线的情况下取得.

众所周知, 基本不等式就是指 $m^2+n^2⩾2mn$ , 其中 $m,n$ 是任意实数, 当且仅当 $m=n$ 时等号成立. 类比基本不等式, 对任意向量 $a,b$ , 有 $a^2+b^2=|a{|}^2+|b{|}^2⩾2|a||b|$ , 其中 $|a|=|b|$ , 又因为 $a\cdot b⩽|a|\cdot |b|$ , 注意 $a$ 与 $b$ 同向, 所以 $a^2+b^2⩾2a\cdot b$ , 等号成立的条件是 $a=b$ . 类比基本不等式还可以得到常用的三个向量不等式 $\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2⩾-2a\cdot b\\ (a+b{)}^2⩾4a\cdot b\\ (a-b{)}^2⩾-4a\cdot b\end{array}$

例 3.63

(2014 安徽文 10) 设 $a$, $b$ 为非零向量, $|b|=2|a|$ , 两组向量 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 和 $y_1,y_2,y_3,y_4$ 均由 2 个 $a$ 和 2 个 $b$ 排列而成. 若 $x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2+x_3\cdot y_3+x_4\cdot y_4$ 所有可能取值中的最小值为 $4|a{|}^2$ , 则 $a$ 与 $b$ 的夹角为 ( ).

A. $\frac{2\pi }{3}$ B. $\frac{\pi }{3}$ C. $\frac{\pi }{6}$ D. 0

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令 $T=\min \{x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2+x_3\cdot y_3+x_4\cdot y_4\}$ , $a$ 与 $b$ 的夹角为 $\theta$ , 因为两组向量 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 和 $y_1,y_2,y_3,y_4$ 均由 2 个 $a$ 和 2 个 $b$ 排列而成, 所以 $x_i{y}_i\in \{a^2,b^2,a\cdot b\}(i=1,2,3,4)$ , 则四组相加的结果只可能得到 $T=\min \{2a^2+2b^2,a^2+b^2+2a\cdot b,4a\cdot b\}$ (只需列举出来). 又因为 $2a^2+2b^2⩾a^2+b^2+2a\cdot b⩾4a\cdot b$ , 所以 $T=4a\cdot b$ , 又 $T=4|a{|}^2$ , 则 $T=4a\cdot b=4|a||b|\cos \theta =8|a{|}^2\cos \theta =4|a{|}^2$ , 可得 $\cos \theta =\frac{1}{2}$ , 即 $\theta =\frac{\pi }{3}$ , 故选 $B$.

变式 3.63.1

(2019 泉州质检) 已知向量 $a$, $b$ 满足 $|a|=1$ , $(b+a)\cdot (b-3a)=0$ , 则 $(b-a)\cdot b$ 的最大值等于 ( ).

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

对于向量来说, 向量的加减法则就是三角形法则, 我们知道对于任意一个三角形来说, 两边之和大于第三边, 两边之差的绝对值小于第三边, 由此可知, 对于 $|m|$ , $|n|$ , $|m\pm n|$ 构成的三角不等式要特别注意等号成立的条件.

(1) 当且仅当 $m,n$ 方向相同时, 我们可以得到

$$|\mathbf{m}+\mathbf{n}|=|\mathbf{m}|+|\mathbf{n}|,||\mathbf{m}|-|\mathbf{n}||=|\mathbf{m}-\mathbf{n}|.$$

(2) 当且仅当 $m,n$ 方向相反时, 我们可以得到

$$|\mathbf{m}-\mathbf{n}|=|\mathbf{m}|+|\mathbf{n}|,||\mathbf{m}|-|\mathbf{n}||=|\mathbf{m}+\mathbf{n}|.$$

由此我们可以到向量三角不等式 $||m-|n||⩽|m\pm n|⩽|m|+|n|$

例 3.64

(2023 四川资阳一模) 已知平面向量 $a$, $b$, $c$ 满足 $|a|=|b|=|a+b|=2$ ，且 $|a-2b-c|=\sqrt{7}$ ，则 $|c|$ 的最大值为 ____.

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在 $|a+b|=2$ 两边同时平方得 $a^2+2a\cdot b+b^2=4$ , 又由 $|a|=|b|=2$ , 所以 $a\cdot b=-2$ , 则

$$|\mathbf{a}-2\mathbf{b}|=\sqrt{(\mathbf{a}-2\mathbf{b}{)}^2}=\sqrt{{\mathbf{a}}^2-4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+4{\mathbf{b}}^2}=\sqrt{4+8+16}=2\sqrt{7}.$$

由向量模长的三角形不等式可得

$$\left|\left|a-2b\right|-|c|\right|⩽\left|a-2b-c\right|⩽\left|a-2b\right|+|c|,$$

即 $|2\sqrt{7}-|c||⩽\sqrt{7}⩽2\sqrt{7}+|c|$ , 解得 $\sqrt{7}⩽|c|⩽3\sqrt{7}$ , 则 $|c|$ 的最大值为 $3\sqrt{7}$ , 故填 $3\sqrt{7}$ .

例 3.65

已知平面向量 $a$, $b$ 是非零向量, 且 $\left|2a-b\right|=1,\left|a-3b\right|=2$ , 则 $\left|a-2b\right|$ 的最大值为 ____.

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因为 $|2a-b|=1,|a-3b|=2,$ 所以 $a-2b$ 需要用 $2a-b,a-3b$ 来表示，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对 $\lambda ,\mu ,$ 使得 $a-2b=\lambda (2a-b)+\mu (a-3b)$ ，可得 $\{\begin{array}{l}2\lambda +\mu =1\\ \lambda +3\mu =2\end{array}$ ，解得 $\{\begin{array}{l}\lambda =\frac{1}{5}\\ \mu =\frac{3}{5}\end{array}$ ，即 $a-2b=\frac{1}{5}(2a-b)+\frac{3}{5}(a-3b)$ ，由向量三角不等式得

$$\left|\mathbf{a}-2\mathbf{b}\right|=\left|\frac{1}{5}(2\mathbf{a}-\mathbf{b})+\frac{3}{5}(\mathbf{a}-3\mathbf{b})\right|⩽\left|\frac{1}{5}(2\mathbf{a}-\mathbf{b})\right|+\left|\frac{3}{5}(\mathbf{a}-3\mathbf{b})\right|=\frac{7}{5},$$

可取 $|a|=\frac{1}{5},|b|=\frac{3}{5}$ , 且 $a$ 与 $b$ 反向, 故 $|a-2b|$ 的最大值为 $\frac{7}{5}$ . 故填 $\frac{7}{5}$ .

变式 3.65.1

设 $a$, $b$ 为单位向量, 若向量 $c$ 满足 $\left|c-(a-b)\right|=|a+b|$ , 则 $|c|$ 的最大值为 ____.