4. 对称性

点关于点中心对称是最简单的形式: 若点 $M(x_0,y_0)$ 及点 $N(x,y)$ 关于点 $P(a,b)$ 对称, 则由中点坐标公式得 $\{\begin{array}{rl}x& =2a-x_0\\ y& =2b-y_0\end{array}$ . 这种形式是其他对称问题的基础, 务必重视!

例 4.15

（2022 河南高三模拟）直线 $\ell :4x+3y-2=0$ 关于点 $A(1,1)$ 对称的直线方程为 ( ).
A. $4x+3y-4=0$ B. $4x+3y-12=0$ C. $4x-3y-4=0$ D. $4x-3y-12=0$

查看解析与步骤

在所求直线上任取一点 $P(x,y)$ ，则点 $P(x,y)$ 关于点 $A(1,1)$ 的对称点为 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ 一定在 $\ell$ 上, 由 $\{\begin{array}{rl}\frac{x+x^{\prime }}{2}& =1\\ \frac{y+y^{\prime }}{2}& =1\end{array}$ , 得 $\{\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =2-x\\ y^{\prime }& =2-y\end{array}$ , 即 $P^{\prime }(2-x,2-y)$ . 代入直线 $\ell$ 得 $4(2-x)+3(2-y)-2=0$ , 整理得 $4x+3y-12=0$ . 故选 $B$.

通过例4.15 可知, 直线关于点的对称问题, 其实就是点关于点的对称问题.

例 4.16

(2009 海南文 5) 已知圆 $C_1:(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=1$ ，圆 $C_2$ 与圆 $C_1$ 关于直线 x-y-1=0 对称，则圆 $C_2$ 的方程为（）. A. $(x+2{)}^2+(y-2{)}^2=1$ B. $(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=1$ C. $(x+2{)}^2+(y+2{)}^2=1$ D. $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=1$

思路分析

由题意可知, 圆心 $C_1$ 与圆心 $C_2$ 关于直线 $x-y-1=0$ 对称, 这里包含两个条件: 一是线段 $C_1{C}_2$ 的中点在直线 $x-y-1=0$ 上; 二是直线 $C_1{C}_2$ 与直线 $x-y-1=0$ 垂直, 故它们的斜率相乘等于 $-1$ . 设 $C_2(a,b)$ , 列出方程组就能解出 $a,b$ , 进而得到圆 $C_2$ 的方程.

查看解析与步骤

由题意可知，圆 $C_1$ 的圆心为 $C_1(-1,1)$ ，半径为 1。设圆 $C_2$ 的圆心为 $C_2(a,b)$ ，因为圆 $C_2$ 与圆 $C_1$ 关于直线 $x-y-1=0$ 对称，所以 $C_1(-1,1)$ 与 $C_2(a,b)$ 关于直线 $x-y-1=0$ 对称，故 $\{\begin{array}{l}\frac{b-1}{a+1}\cdot 1=-1\\ \frac{a-1}{2}-\frac{b+1}{2}-1=0\end{array}$ ，解得 $\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-2\end{array}$ ，即 $C_2(2,-2)$ ，所以圆 $C_2$ 的方程为 $(x-2{)}^2+(y+2{)}^2=1$ 故选 $B$.

根据例4.16, 我们总结出求点关于直线对称的方法:

方法总结 4.2

点关于直线对称情形如下所示: 设点 $P(x_0,y_0)$ 关于直线 $Ax+By+C=0(B\ne 0)$ 对称点为 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ , 则 $\{\begin{array}{l}\frac{y^{\prime }-y_0}{x^{\prime }-x_0}\cdot \left(-\frac{A}{B}\right)=-1\\ A\frac{x^{\prime }+x_0}{2}+B\frac{y^{\prime }+y_0}{2}+C=0\end{array}$ , 求出点 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ .

变式 4.16.1

已知点 A(3,5) 及直线 $\ell :x-2y+2=0$ , $B$ 为 $y$ 轴上的动点, $C$ 为 $\ell$ 上的动点, 则 $△ABC$ 的周长的最小值为 ____.