公式的重要性不言而喻, 但仅凭公式无法保证三角函数试题的顺利解答. 掌握一些基本技巧是必要的, 而其中最典型的技巧是凑角, 那什么是凑角呢? 什么样的题需要凑角? 又该如何进行凑角? 我们通过下面例题来回答上面的三连问:
（2019 成都二诊）若 α,β 都是锐角，且 sinα=525,sin(α−β)=1010 ，则 sinβ=() .
A. 1072 B. 22 C. 21 D. 101
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因为 β=α−(α−β) , 所以
sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcos(α−β)−cosαsin(α−β).因此只需求出 cosα 与 cos(α−β) 的值．因为 α 是锐角，所以 cosα=55 又因为 β 也是锐角，所以 α−β∈(−2π,2π) ，故 cos(α−β)=10310 将它们代入上式可得 sinβ=22 故选B.
我们回答刚才的问题, 凑角是将三个角中的两个角通过加、减或倍数来凑出第三个角, 比如例1.24中的 α,α−β,β , 满足 β=α−(α−β) .
什么时候凑角呢？一般有以下两个特征的时候，我们考虑凑角：(1)题目中有三个角；(2)已知有一角一函数.
下面的例题和变式始终围绕凑角的两个典型特征展开, 同学们仔细体会.
(2014 全国Ⅱ理 14) 函数 f(x)=sin(x+2φ)−2sinφcos(x+φ) 的最大值为 ____.
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由于函数中含有 x+2φ,x+φ 和 φ 三个角，且有 sin(x+2φ) 和 cos(x+φ) 两个一角一函数，故考虑凑角，发现 x+2φ=x+(x+φ) ，则
f(x)=sin[(x+φ)+φ]−2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ−2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ−cos(x+φ)sinφ=sinx.由三角函数的有界性可知 sinx∈[−1,1] , 所以函数 f(x)=sinx 的最大值为 1, 故填 1.
（2023 重庆模拟）已知角 α,β 满足 tanα=31,sinβ=2cos(α+β)sinα, 则 tanβ=() .
A. 41 B. 21 C.1 D.2
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由于题目中含有 α,β,α+β 三个角，且包含一角一函数 cos(α+β) ，故考虑凑角，发现 β=(α+β)−α ，则 sin[(α+β)−α]=2cos(α+β)sinα ，即
sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=2cos(α+β)sinα,化简得 sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα ，此为齐二次方程，每一项都除以 cos(α+β)cosα ，得 tan(α+ β)=3tanα=3×31=1, 所以
tanβ=tan[(α+β)−α]=1+tan(α+β)tanαtan(α+β)−tanα=21.故选B.
（2011 浙江理 6）若 0<α<2π ， −2π<β<0 ， cos(4π+α)=31 ， cos(4π−2β)=33 ，则 cos(α+2β)=() .
A. 33 B. −33 C. 953 D. −96
(2023 浙江联考) 已知 tan(α+β) , tan(α−β) 是关于 x 的方程 x2+mx−4=0 的两根, 且 tanα=32 , 则 m=() .
A. 59 B.4 C.-12 D. −310
凑角的一个特征是题目中有三个角, 但是如果题目中只包含两个角, 那么我们把特殊角当成第三个角, 然后观察题目中的两个角通过加、减或倍数是否能够凑出特殊角, 若能, 那么解题方法与前面的例题和变式没有本质的区别.
若 sin(6π−α)=31 , 则 cos(32π+2α)=() .
A. −97 B. −31 C. 31 D. 97
解析1
观察已知角 6π−α 和所求角 32π+2α ，我们发现 (32π+2α)+2(6π−α)=π, 则 cos(32π+2α)=cos[π−2(6π−α)]=−cos[2(6π−α)] =−[1−2sin2(6π−α)]=−[1−2×(31)2]=−97.
故选A.
在解析1 中, 我们采用了配凑法, 将已知角 6π−α 视为一个整体, 并通过适当的运算表示出所求角 32π+2α . 如果觉得配凑较为困难, 可以考虑换元法.
解析2
令 β=6π−α ，则 sinβ=31 且 α=6π−β ，则 cos(32π+2α)=cos[32π+2(6π−β)]= −cos2β=−(1−2sin2β)=−[1−2×(31)2]=−97, 故选A.
(2023 广西柳州三模) 已知 α∈(0,2π) ，且 tan(α+4π)=3cos2α ，则 sin2α=() .
A. 32 B. 61 C. 31 D. −65
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题目中出现了 α+4π 和 2α 两个角, 且已知包含一角一函数, 故考虑将这两个角凑特殊角, 发现 2α−2(α+4π)=−2π , 即 2α=−2π+2(α+4π) , 则由 tan(α+4π)=3cos2α 得
cos(α+4π)sin(α+4π)=3sin2(α+4π)=6sin(α+4π)cos(α+4π).由 α∈(0,2π) , 得 α+4π∈(4π,43π) , 从而 sin(α+4π)>0 , 所以 cos2(α+4π)=61 , 即 (22cosα−22sinα)2=61 , 因此 21(1−sin2α)=61 , 即 sin2α=32 , 故选 A.
(2023 广东联考) 若 sinx−3cosxsin2x+3cos2x=1 ，则 cos(x−3π)= ____.
(2022 湖南模考) 已知 cos(θ+4π)=1010,θ∈(0,2π) ，则 sin(2θ−6π)= ____.
前面的例题和变式大部分都是给值求值问题, 而给值求角的问题也可以通过给值求值, 再知值求角来解决.
已知 α,β∈(0,π) ，且 tan(α−β)=21 ， tanβ=−71 ，则 2α−β 的值为 ____.
要求 2α−β 的值, 可以拆成 α+(α−β) . 由于条件中给出了 tan(α−β) 值, 但是没有给 tanα , 因此需要先求出 tanα 的值. 为了做到这一点, 我们构造角度 α 为 α=(α−β)+β , 故 tanα=tan[(α−β)+β] .
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tanα=tan[(α−β)+β]=1−tan(α−β)tanβtan(α−β)+tanβ=31. 要求 2α−β 的值,则可得
tan(2α−β)=tan[α+(α−β)]=1−tanαtan(α−β)tanα+tan(α−β)=1,即 2α−β=kπ+4π(k∈Z) ，需要进一步缩小范围来确定 k 的值.
因为 α∈(0,π) , 且 tanα=31 , 可知 α∈(0,6π) . 又由 β∈(0,π) , 且 tanβ=−71 , 可知 β∈(65π,π) . 于是 −π<2α−β<−2π , 因此 k=−1 , 故 2α−β=−43π , 故填 −43π .
本例很明显提示了求 2α−β 的正切值。如果条件给出的是正弦或是余弦的三角函数值，求角的大小，我们该如何选取所求角度的三角函数，正弦还是余弦呢？下面通过例子来说明。
已知 sin2α=55 ， sin(β−α)=1010 ，且 α∈[4π,π] ， β∈[π,23π] ，则 α+β 的值为（）.
A. 47π B. 49π C. 45π 或 47π D. 45π 或 49π
因为 α∈[4π,π] , 且 sin2α=55>0 , 所以 2α∈[2π,π] , 但当 2α=2π 时 sin2α=55 , 不满足题意, 故可得 α∈(4π,2π] . 又 β∈[π,23π] , 所以 α+β∈(45π,2π] , 故可知 α+β 落在第三或者第四象限. 而正弦值在第三象限与第四象限都是为负数, 余弦值在第三象限为负, 在第四象限为正, 故选择求 α+β 的余弦值.
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由题意可知 2α∈[2π,2π] , 由 sin2α=55 , 可知 2α∈[2π,π] , 所以 cos2α=−525 . 又因为 sin(β−α)=1010 , β∈[π,23π] , 所以 β−α∈[2π,45π] , cos(β−α)=−10310 , 则
cos(α+β)=cos[(β−α)+2α]=cos(β−α)cos2α−sin(β−α)sin2α=22.又由 α+β∈(45π,2π] ，可得 α+β=47π 故选A.
通过对例1.30的分析与解答, 我们对这类题进行归纳总结:
给值求角问题的一般原则为给定范围的三角函数值对应唯一角, 比如: 若角的范围落在一、二象限, 则建议选余弦函数或正切函数; 若角的范围落在二、三象限, 则建议选正弦函数或正切函数; 若角的范围落在三、四象限, 则选余弦函数或正切函数; 若角的范围落在一、四象限, 则选正弦函数或正切函数.