1.1.5 辅助角公式

“辅助角公式”又称“化一公式”，其主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数，以此来求解有关最值和周期等的问题.

在高考数学范围内, 辅助角公式的作用是将含有正弦、余弦两种三角函数的表达式合并为只含有一种三角函数的表达式, 其形式如下所示:

辅助角公式

$a\sin x\pm b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x\pm \phi )(a,b>0)$ ，这里 $\phi$ 是锐角且 $\tan \phi =\frac{b}{a}$ .

为简洁起见, 我们只给出 $a\sin x+b\cos x$ 的推导, 另外一种情形, 请同学们自己完成.

推导过程

因为 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)$ ，注意到 ${\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}^2+{\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}^2=1$ ，故存在 $\phi$ ，使得 $\cos \phi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ， $\sin \phi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ，所以

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}(\cos \phi \sin x+\sin \phi \cos x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$$

这里 $\phi$ 满足 $\tan \phi =\frac{\sin \phi }{\cos \phi }=\frac{b}{a}$

例 1.14

(2020 全国Ⅲ文 5) 已知 $\sin \alpha +\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=1$ ，则 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=()$ .

A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C. $\frac{2}{3}$ D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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将 $\sin \alpha +\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=1$ 展开可得 $\sin \alpha +\sin \alpha \cos \frac{\pi }{3}+\cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}=1$ , 即 $\frac{3}{2}\sin \alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha =1$ , 由辅助角公式可得 $\sqrt{3}\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=1$ , 即 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ , 故选 $B$.

我们不仅要记住这个辅助角公式, 还需要观察角度的变化, 当角度比较多的时候, 把一些角看成一个整体, 是非常有必要的, 比如下面这个例子.

例 1.15

(2022 新高考 II 6) 角 $\alpha ,\beta$ 满足 $\sin (\alpha +\beta )+\cos (\alpha +\beta )=2\sqrt{2}\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\sin \beta ,$ 则 ( ).

A. $\tan (\alpha +\beta )=1$ B. $\tan (\alpha +\beta )=-1$ C. $\tan (\alpha -\beta )=1$ D. $\tan (\alpha -\beta )=-1$

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由辅助角公式可得 $\sqrt{2}\sin \left(\alpha +\beta +\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\sin \beta ,$ 将 $\alpha +\frac{\pi }{4}$ 看成一个整体，利用两角和正弦公式可得

$$\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\cos \beta +\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\sin \beta =2\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\sin \beta .$$

等式两边同时除以 $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\cos \beta$ ，可得 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\tan \beta$ ，所以 $\alpha +\frac{\pi }{4}=\beta +k\pi ,k\in \mathbb{Z},$ 即 $\alpha -\beta =-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z},$ 从而 $\tan (\alpha -\beta )=\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1,$ 故选$D$.

变式 1.15.1

（2022 浙江 13）若 $3\sin \alpha -\sin \beta =\sqrt{10},\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$ ，则 $\sin \alpha =$ ____ .

辅助角公式的作用是非常大的, 是把两个不同名的三角函数化成同一三角函数的重要手段. 而给角求值问题更是把辅助角公式的应用进一步进行了升华. 下面通过例子来说明:

例 1.16

$\frac{\cos 10^{\circ }(1+\sqrt{3}\tan 10^{\circ })}{\cos 50^{\circ }}=\underline{}.$

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$\frac{\cos 10^{\circ }(1+\sqrt{3}\tan 10^{\circ })}{\cos 50^{\circ }}=\frac{\cos 10^{\circ }+\sqrt{3}\sin 10^{\circ }}{\cos 50^{\circ }}=\frac{2\sin (10^{\circ }+30^{\circ })}{\cos 50^{\circ }}=\frac{2\sin 40^{\circ }}{\sin 40^{\circ }}=2.$

给角求值问题一般给出的角都是非特殊角, 要观察所给角与特殊角间的关系, 利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题, 另外此类问题也常利用代数变形, 比如下面这个例子就需要根据三角函数公式来进行代数变形.

例 1.17

（2022 苏州模考）已知 $m\sin 20^{\circ }+\tan 20^{\circ }=\sqrt{3}$ ，则 $m=()$ .

A. $\sqrt{3}$ B. $2$ C. $4$ D. $8$

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要求 $m$ 的值, 需先分离出 $m$, 即 $m=\frac{\sqrt{3}-\tan 20^{\circ }}{\sin 20^{\circ }}$ . 分式中既含有正切又含有正弦, 因此考虑切化弦, 即

$$m=\frac{\sqrt{3}-\frac{\sin 20^{\circ }}{\cos 20^{\circ }}}{\sin 20^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}\cos 20^{\circ }-\sin 20^{\circ }}{\sin 20^{\circ }\cos 20^{\circ }}=-\frac{\sin 20^{\circ }-\sqrt{3}\cos 20^{\circ }}{\sin 20^{\circ }\cos 20^{\circ }}=-\frac{2\sin (20^{\circ }-60^{\circ })}{\frac{1}{2}\sin 40^{\circ }}=4.$$

故选 $C$.

给角求值问题我们需要利用辅助角公式来合角。但有时候需要拆角，即一个角拆分成两个角，那么拆角是不是随意拆分呢？当然不是，拆角必须跟已知角有直接的关联。

例 1.18

(2013 重庆理 9) $4\cos 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }=()$ .

A. $\sqrt{2}$ B. $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$ C. $\sqrt{3}$ D. $2\sqrt{2}-1$

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式 $4\cos 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }$ 中含有弦与切, 弦切互化, 异名化同名, 异角化同角, 这是处理恒等变形最先考虑的. 本例题一开始就是切化弦, 即 $4\cos 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }=\frac{4\cos 50^{\circ }\cos 40^{\circ }-\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}$ . 因为 $\cos 50^{\circ }=\sin 40^{\circ }$ , 所以

$$4\cos 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }=\frac{4\sin 40^{\circ }\cos 40^{\circ }-\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}=\frac{2\sin 80^{\circ }-\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}.$$

分子中的 $2\sin 80^{\circ }-\sin 40^{\circ }$ 无法直接用辅助角公式, 否则不能消去分母. 故考虑把 $80^{\circ }$ 与 $40^{\circ }$ 进行拆分, 考虑 $80^{\circ }=60^{\circ }+20^{\circ },40^{\circ }=60^{\circ }-20^{\circ }$ , 于是

$$\begin{array}{rl}4\cos 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }& =\frac{2\sin (60^{\circ }+20^{\circ })-\sin (60^{\circ }-20^{\circ })}{\cos 40^{\circ }}\\ & =\frac{\frac{3}{2}\sin 20^{\circ }+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 20^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}\sin 50^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}\cos 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}=\sqrt{3}.\end{array}$$

故选C.

我们一定要把 $80^{\circ }$ 拆分成 $60^{\circ }$ 与 $20^{\circ }$ 之和吗？当然不是，我们还可以把 $80^{\circ }$ 写成 $80^{\circ }=50^{\circ }+30^{\circ }$ ，那么此时 $40^{\circ }$ 需要拆开吗？不需要，因为 $40^{\circ }$ 与 $50^{\circ }$ 是互余的，所以

$$\begin{array}{rl}4\cos 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }& =\frac{2\sin (50^{\circ }+30^{\circ })-\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}\\ & =\frac{\sqrt{3}\sin 50^{\circ }+\cos 50^{\circ }-\sin 40^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}\sin 50^{\circ }}{\cos 40^{\circ }}=\sqrt{3}.\end{array}$$

变式 1.18.1

(2023 湖北模考) 若 $\sin 10^{\circ }=(\sqrt{3}\tan 10^{\circ }-1)\sin (\alpha -20^{\circ })$ ，则 $\sin (2\alpha +50^{\circ })=$ ( ).

A. $\frac{1}{8}$ B. $-\frac{1}{8}$ C. $-\frac{7}{8}$ D. $\frac{7}{8}$