【知识点 3.18】三角形三条高所在直线的交点为垂心.

找垂心需要先找垂直, 而找垂直我们只需判断数量积是否为 0, 请看下面例题:

例 3.86

已知 $O$ 为 $△ABC$ 所在平面上一点, 若 $|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\overrightarrow{BC}{|}^2=|\overrightarrow{OB}{|}^2+|\overrightarrow{AC}{|}^2=|\overrightarrow{OC}{|}^2+|\overrightarrow{AB}{|}^2$ , 则点 $O$ 是 $△ABC$ 的 ( ). A. 外心 $B$. 重心 $C$. 垂心 $D$. 内心

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由条件 $|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\overrightarrow{BC}{|}^2=|\overrightarrow{OB}{|}^2+|\overrightarrow{AC}{|}^2$ ，可得

$$|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}{|}^2=|\overrightarrow{OB}{|}^2+|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}{|}^2⟹\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=0,$$

即 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{OC}=0$ . 同理可得 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{OB}=0,\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{OA}=0$ , 即 $O$ 是 $△ABC$ 的垂心. 故选 $C$.

变式 3.86.1

已知 $O$ 是平面上一定点, 动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|\cos B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|\cos C}\right)$ , $\lambda \in [0,+\infty )$ , 则点 $P$ 的轨迹一定通过 $△ABC$ 的 ( ).

A. 外心 $B$. 内心 $C$. 重心 $D$. 垂心