3.1.1 线性运算

知识点 3.1

向量加法的三角形法则: 如图 3 . 向量加法的平行四边形法则: 如图 3-2 所示, 在平行四边形 $a+b=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ . 向量加法的平行四边形法则: 如图 3-2 所示, 在平行四边形 $ABCD$ 中, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ .

图3-1

图3-2

在如图 3-2所示的平行四边形ABCD中，连接AC,BD,交点为$E$，则由平行四边形法则得 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AE}$ 这个式子是三角形中线的向量形式，总结如下：

结论总结 3.1

在 $△ABD$ 中, $E$ 是边 BD 的中点, 则 $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$ .

例 3.1

设 $D$, $E$, $F$ 分别为 $△ABC$ 三边 BC, CA, AB 的中点，则 $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}=()$ . A. $\overrightarrow{AD}$ B. $\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ C. $\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ D. $\overrightarrow{BC}$

解析 1

如图 3-3 所示, 因为 $D$, $E$, $F$ 分别为 BC, CA, AB 的中点, 所以 $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}=(\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{FB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AD}$ , 故选 $A$.

解析 2

$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}=-\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{CF}=-\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}{2}-\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}=\overrightarrow{AD}$ . 故选 $A$.

比较解析1 与解析2, 发现恰当地运用三角形中线的向量形式可以简化向量的运算.

例 3.2

(2014 福建文 10) 设 $M$ 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, $O$ 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, 则 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$ 等于 ( ). A. $\overrightarrow{OM}$ B. $2\overrightarrow{OM}$ C. $3\overrightarrow{OM}$ D. $4\overrightarrow{OM}$

解析

如图 3-4所示, $OM$ 既是 $△OAC$ 的中线, 也是 $△OBD$ 的中线, 根据三角形中线的向量形式得到 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$ , $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OM}$ , 所以 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OM}$ , 故选$D$.

图3-3

图3-4

向量加法的特征是首尾衔接, 例如 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ . 而向量的减法规则是将两个向量的起点放在一起, 以减向量的终点为起点, 被减向量的终点为终点, 得到的向量称为差向量.

如果你觉得减法的规则很绕, 可以将减法转化为加法, 即取减向量的相反向量, 然后进行向量的加法运算. 例如, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$ . 这样可以更方便地处理减法运算.

例 3.3

已知 $P$ 为 $△ABC$ 所在平面内的任意一点, 若 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AB}$ , 则点 $P$ 与 $△ABC$ 的位置关系是 ( ).

A. 点 $P$ 在线段 AB 上 B. 点 $P$ 在线段 BC 上 C. 点 $P$ 在线段 AC 上 D. 点 $P$ 在 $△ABC$ 外部

解析

由 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AB}$ 得到 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}$ ，即 $\overrightarrow{PC}=-2\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{AP}$ ，所以点 $P$ 在线段 AC 上。故选 $C$.

在进行向量运算时, 要尽量将问题转化到平行四边形或三角形中, 选择从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量, 并选用合适的回路. 通过运用向量的加法和减法运算, 来求解问题. 这种方法可以简化向量运算的过程, 使问题更易于处理和理解.

例 3.4

(2023 安徽统考) 已知 $△ABC$ 的面积为 3, $P$, $Q$ 为 $△ABC$ 所在平面内异于点 $A$ 的两个不同的点, 若 $\overrightarrow{PA}-(1+2\lambda )\overrightarrow{PC}=0$ , 且 $\overrightarrow{QA}+\lambda \overrightarrow{QB}+\lambda \overrightarrow{QC}=\lambda \overrightarrow{BC}$ , 其中 $\lambda >0$ , 则 $△APQ$ 的面积为 ____.

思路分析

因为 $△ABC$ 与 $△APQ$ 含有公共角 $A$ , 故只需找到 $AP$ 与 $AC$ , $AQ$ 与 $AB$ 的数量关系即可得出面积.

解析

首先, 由 $\lambda >0$ , $\overrightarrow{PA}-(1+2\lambda )\overrightarrow{PC}=0$ 可知 $P$ 在 $AC$ 的延长线上, 设 $AC=1$ , $CP=x$ , 则由 $\overrightarrow{PA}-(1+2\lambda )\overrightarrow{PC}=0$ , 可知 $1+x=(1+2\lambda )x$ , 即 $x=\frac{1}{2\lambda }$ , 也就是 $\overrightarrow{AP}=\frac{1+2\lambda }{2\lambda }\overrightarrow{AC}$ .

又因为 $\overrightarrow{QA}+\lambda \overrightarrow{QB}+\lambda \overrightarrow{QC}=\lambda \overrightarrow{BC}$ , 所以 $\overrightarrow{QA}+\lambda \overrightarrow{QB}+\lambda \overrightarrow{QC}=\lambda (\overrightarrow{QC}-\overrightarrow{QB})$ , 即 $\overrightarrow{AQ}=2\lambda \overrightarrow{QB}$ , 这说明 $Q$ 在 $AB$ 之间. 设 $QB=1$ , 则 $AQ=2\lambda$ , 所以 $\overrightarrow{AQ}=\frac{2\lambda }{1+2\lambda }\overrightarrow{AB}$ .

因此 $|AP|=\frac{1+2\lambda }{2\lambda }|AC|$ , $|AQ|=\frac{2\lambda }{1+2\lambda }|AB|$ . 因为 $△ABC$ 的面积为 3, 所以 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}|AB|\cdot |AC|\sin A=3$ , 则 $S_{△APQ}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1+2\lambda }{2\lambda }|AC|\cdot \frac{2\lambda }{1+2\lambda }|AB|\sin A=\frac{1}{2}|AC|\cdot |AB|\sin A=3$ . 所以 $△APQ$ 的面积为 3, 故填 3.

变式 3.4.1

(2023 山东统考) 在 $△ABC$ 中, 若 $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=2$ , $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}|=3$ , 则 $△ABC$ 面积的最大值为 ( ).

A. $\frac{3}{8}$ B. $\frac{3}{4}$ C. 1

D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

知识点 3.2

向量共线定理: 向量 $a(a\ne 0)$ 与向量 $b$ 共线的充要条件是: 存在唯一一个实数 $\lambda$ , 使得 $b=\lambda a$ .

向量共线定理的应用需要特别注意 $a\ne 0$ ，否则，若 $a=0$ 且 $b\ne 0$ ，则不存在 $\lambda \in \mathbb{R}$ ，使得 $b=\lambda a$ ；若 $a=0$ 且 $b=0$ ，则使得 $b=\lambda a$ 成立的实数 $\lambda$ 不唯一。

例 3.5

(2015 全国Ⅱ理 13) 设向量 $a$, $b$ 不平行, 向量 $\lambda a+b$ 与 $a+2b$ 平行, 则实数 $\lambda =$ ____ .

解析

由于向量 $\lambda a+b$ 与 $a+2b$ 平行, 所以由向量共线定理可知, 存在唯一的实数 $\mu$ , 使得 $\lambda a+b=\mu (a+2b)$ , 对照系数可得 $\{\begin{array}{rl}\mu & =\lambda \\ 2\mu & =1\end{array}$ , 解得 $\lambda =\frac{1}{2}$ . 故填 $\frac{1}{2}$ .

向量只有大小和方向两个要素, 与起点无关. 不同的是, 有向线段有起点、方向与长度三个要素. 如果将向量用有向线段表示, 那么共线定理就可以解决三点共线问题.

例 3.6

已知向量 $e_1,e_2$ 是两个不共线的向量, $\overrightarrow{AB}=3e_1+2e_2,\overrightarrow{CB}=k{e}_1+e_2,\overrightarrow{CD}=3e_1-2k{e}_2$ , 若 $A$, $B$, $D$ 三点共线, 则 $k$ 等于 ( ).

A. $-\frac{9}{4}$ B. $-\frac{4}{9}$ C. $-\frac{3}{8}$ D. $-\frac{8}{3}$

解析

若 $A$, $B$, $D$ 三点共线，则存在一个实数 $\lambda$ ，使得 $\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{BD}$ ，又 $\overrightarrow{AB}=3e_1+2e_2$ ，而 $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=(3-k)e_1-(2k+1)e_2$ ，则 $3e_1+2e_2=\lambda [(3-k)e_1-(2k+1)e_2]$ ，对照系数可得 $\{\begin{array}{rl}& 3=\lambda (3-k)\\ & 2=-\lambda (2k+1)\end{array}$ ，解得 $k=-\frac{9}{4}$ . 故选 $A$.

例 3.7

(2022 新高考 I 3) 在 $△ABC$ 中, 点 $D$ 在边 AB 上, BD = 2DA. 记 $\overrightarrow{CA}=m,\overrightarrow{CD}=n$ , 则 $\overrightarrow{CB}=()$ . A. $3m-2n$ B. $-2m+3n$ C. $3m+2n$ D. $2m+3n$

解析

因为 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DA}$ ，所以 $B$, $D$, $A$ 三点共线。由向量的减法可得 $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=2(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CD})$ ，整理得 $\overrightarrow{CB}=3\overrightarrow{CD}-2\overrightarrow{CA}=3n-2m$ 。故选 $B$.

虽然本小节的三点共线我们讲的很基础, 但是三点共线问题的难易度不会止步于此, 我们会在 3.4 节深入研究三点共线问题.

变式 3.7.1

（2023 重庆统考）已知点 $D$, $G$ 为 $△ABC$ 所在平面内的点， $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$ ， $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ ，记 $S_1,S_2$ 分别为 $△ABC,△BDG$ 的面积，那么 $\frac{S_2}{S_1}=()$ . A. $\frac{1}{4}$ B. $\frac{1}{5}$ C. $\frac{1}{6}$ D. $\frac{1}{7}$