4.2.4 圆系

含参直线系指的是经过两条直线的交点的直线, 那么含参圆系就是经过两个圆交点的圆.

知识点 4.13

过圆 $C_1:x^2+y^2+D_{1}x+E_{1}y+F_1=0$ 与圆 $C_2:x^2+y^2+D_{2}x+E_{2}y+F_2=0$ 交点的圆系方程为 $x^2+y^2+D_{1}x+E_{1}y+F_1+\lambda (x^2+y^2+D_{2}x+E_{2}y+F_2)=0(\lambda \ne -1)$ .

该圆系不能表示 $C_2$ ，特别地，当 $\lambda =-1$ 时，方程变为 $(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+F_1-F_2=0$ .

(1) 两圆 $C_1$ 与 $C_2$ 相交时, 此方程表示公共弦方程;

(2) 两圆 $C_1$ 与 $C_2$ 相切时, 此方程表示公切线方程.

例 4.31

已知圆心在直线 $\ell :x-y-4=0$ 上，并且经过圆 $C_1:x^2+y^2+6x-4=0$ 与圆 $C_2:x^2+y^2+6y-28=0$ 的交点的圆的方程为 ____.

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经检验, $C_2(0,-3)$ 不在直线 $\ell$ 上, 故所求圆的方程不可能为 $C_2$ . 设所求圆的方程为 $x^2+y^2+6x-4+\lambda (x^2+y^2+6y-28)=0$ , 整理得

$$x^2+y^2+\frac{6}{1+\lambda }x+\frac{6\lambda }{1+\lambda }y-\frac{4+28\lambda }{1+\lambda }=0.$$

故圆心坐标为 $\left(-\frac{3}{1+\lambda },-\frac{3\lambda }{1+\lambda }\right)$ . 又因为圆心在 $\ell$ 上, 所以 $-\frac{3}{1+\lambda }+\frac{3\lambda }{1+\lambda }-4=0$ , 解得 $\lambda =-7$ , 因此圆的方程为 $x^2+y^2-x+7y+32=0$ .

变式 4.31.1

圆心在直线 $x+y=0$ 上, 且过两圆 $x^2+y^2-2x+10y-24=0$ 与 $x^2+y^2+2x+2y-8=0$ 交点的圆的方程 ____.

知识点 4.14

过直线 $Ax+By+C=0$ 与圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 交点的圆系方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F+\lambda (Ax+By+C)=0$ .

例 4.32

经过直线 $\ell :2x+y+4=0$ 与圆 $C:x^2+y^2+2x-4y+1=0$ 的交点, 并且经过原点的圆的方程为 ____.

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设所求圆的方程为 $x^2+y^2+2x-4y+1+\lambda (2x+y+4)=0$ ，由于这个圆经过原点，代入所求圆的方程得 $1+4\lambda =0$ ，即 $\lambda =-\frac{1}{4}$ . 将 $\lambda =-\frac{1}{4}$ 代入所求圆的方程得 $x^2+y^2+\frac{3}{2}x-\frac{17}{4}y=0$ 故填 $x^2+y^2+\frac{3}{2}x-\frac{17}{4}y=0.$