3.6.3 平行四边形的向量表示

知识点 3.14

若 $a$, $b$ 是不共线的非零向量, 则以 $a$, $b$ 为邻边可以构造一个平行四边形, $a+b$ 和 a - b 分别为这个平行四边形的对角线.

如果题中出现 $a+b$ 或 $a-b$ , 那么我们可以尝试构造以 $a,b$ 为邻边的平行四边形, 使其对角线为 $a+b$ 或 $a-b$ , 如下例所示.

例 3.75

(2019 全国 $I$ 理 7) 已知非零向量 $a$, $b$ 满足 $|a|=2|b|$ ，且 $(a-b)\perp b$ ，则 $a$ 与 $b$ 的夹角为（）. A. $\frac{\pi }{6}$ B. $\frac{\pi }{3}$ C. $\frac{2\pi }{3}$ D. $\frac{5\pi }{6}$

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记 $a=\overrightarrow{OA},b=\overrightarrow{OB}$ ，则 $a-b=\overrightarrow{BA}$ 。因为 $(a-b)\perp b$ ，所以 $AB\perp OB$ 。于是以 OB，OA 为邻边，构造出如图 3-72 所示的平行四边形。因为 $|a|=2|b|$ ，所以在 Rt△OBA 中， $\cos \angle AOB=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2}$ ，得到 $\angle AOB=\frac{\pi }{3}$ ，故选 $B$.

其实, 例3.75用代数法也是很简单的. 接下来的例题和变式实际上采用代数法会更简单一些, 但我们的目的是想训练同学们几何法和作图的能力. 因此, 在这些例题中, 我们只给出几何法的解析, 代数法留给同学们独立完成.

图3-72

这样能够帮助同学们在几何问题中更加灵活和熟练地运用几何方法, 同时也提升几何直觉和解题技巧.

例 3.76

(2014 浙江理 8) 记 $\max \{x,y\}=\{\begin{array}{rl}& x,x⩾y\\ & y,x<y\end{array}$ ， $\min \{x,y\}=\{\begin{array}{rl}& y,x⩾y\\ & x,x<y\end{array}$ ，设 $a$,$b$ 为平面向量，则（）.

A. $\min \{|a+b|,|a-b|\}⩽\min \{|a|,|b|\}$ B. $\min \{|a+b|,|a-b|\}⩾\min \{|a|,|b|\}$ C. $\max \{|a+b{|}^2,|a-b{|}^2\}⩽|a{|}^2+|b{|}^2$ D. $\max \{|a+b{|}^2,|a-b{|}^2\}⩾|a{|}^2+|b{|}^2$

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因为 $a+b$ 和 $a-b$ 表示以 $a,b$ 为邻边的平行四边形的两条对角线. 由平行四边形对角线原理可知 $|a+b{|}^2+|a-b{|}^2=2(|a{|}^2+|b{|}^2)$ , 即 $|a{|}^2+|b{|}^2$ 是 $|a+b{|}^2$ 和 $|a-b{|}^2$ 的等差中项, 也就是说 $|a{|}^2+|b{|}^2$ 一定落在 $|a-b{|}^2$ 和 $|a+b{|}^2$ 的中间, 即

$$\min \left\{{\left|a-b\right|}^2,{\left|a+b\right|}^2\right\}⩽{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2⩽\max \left\{{\left|a+b\right|}^2,{\left|a-b\right|}^2\right\}.$$

故选D.

如果题目中既有 $a+b+c=0$ ，又有 $a+b$ 或 $a-b$ ，那么我们可以先构造三角形，再构造以 $a,b$ 为邻边的平行四边形，使其对角线满足 $a+b$ 和 $a-b$ ，请看下面的例题：

例 3.77

(2006 浙江理 13) 设向量 $a$, $b$, $c$ 满足 $a+b+c=0$ , $(a-b)\perp c$ , $a\perp b$ , 若 $|a|=1$ , 则 $|a{|}^2+|b{|}^2+|c{|}^2$ 的值是 ____.

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由 $a+b+c=0$ 和 $a\perp b$ ，构造如图 3-73 所示的 Rt△OAB，其中 $a=\overrightarrow{OA},b=\overrightarrow{AB},c=\overrightarrow{BO}$ ，过 $O$ ，得到平行四边形 OABC，如图 3-74 所示，其中 $\overrightarrow{OC}=b$ ，得到平行四边形 OABC，如图 3-74 所示，其中 $\overrightarrow{CA}=a-b$ ，又因为 $(a-b)\perp c$ ，即 $CA\perp OB$ ，故四边形 OABC 是边长为 1 的正方形，所以 $|a{|}^2+|b{|}^2+|c{|}^2=1+1+2=4$ 。故填 4.

图3-73

图3-74

我们由 $a\pm b$ 会联想到平行四边形. 那么三角形又是什么情形呢? 如图 3-75所示, 在 $△ABC$ 中, 令 $a=\overrightarrow{AB},b=\overrightarrow{BC},c=\overrightarrow{CA}$ , 则 $a+b+c=0$ . 反过来, 如果 $a+b+c=0$ , 且 $a,b,c$ 是不共线的非零向量, 那么 $a,b,c$ 可以刻画一个三角形.

经验总结 3.8

设 $a$, $b$, $c$ 是不共线的非零向量, 若 $a+b+c=0$ , 令 $a=\overrightarrow{OA}$ , $b=\overrightarrow{AB}$ , $c=\overrightarrow{BO}$ , 则 $a+b+c=0$ 可以构造一个 $△OAB$ .

例 3.78

设向量 $a$, $b$, $c$ 满足 $a+2b+3c=0$ 且 $(a-2b)\perp c$ ，若 $|a|=1$ ，则 $|b|=$ ____ .

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由 $a+2b+3c=0$ ，构造如图 3-76 所示的三角形，其中 $\overrightarrow{OA}=a,\overrightarrow{AB}=2b,\overrightarrow{BO}=3c$ 。过 $O$ ，得到平行四边形 OABC，如图 3-77 所示。因为 $\overrightarrow{OC}=2b$ ，得到平行四边形 OABC，如图 3-77 所示。因为 $a-2b=\overrightarrow{CA}$ ，且 $(a-2b)\perp c$ ，所以 $CA\perp OB$ ，故四边形 OABC 是菱形，于是 $2|b|=|a|=1$ ，得 $|b|=\frac{1}{2}$ ，故填 $\frac{1}{2}$ 。

图3-76

图3-77

变式 3.78.1

若非零向量 $a$, $b$ 满足 $|a+b|=|b|$ ，则（）. A. $|2a|>|2a+b|$ B. $|2a|<|2a+b|$ C. $|2b|>|a+2b|$ D. $|2b|<|a+2b|$