1.3.1 单调性

从图 1-1～图 1-3 可以看出三个基本函数的单调区间, 不需要记忆, 画图即可.

知识点 1.5

(1) $y=\sin x$ 在 $\left[2k\pi -\frac{\pi }{2},2k\pi +\frac{\pi }{2}\right](k\in \mathbb{Z})$ 上单调递增, 在 $\left[2k\pi +\frac{\pi }{2},2k\pi +\frac{3\pi }{2}\right](k\in \mathbb{Z})$ 上单调递减. (2) $y=\cos x$ 在 $[2k\pi -\pi ,2k\pi ](k\in \mathbb{Z})$ 上单调递增, 在 $[2k\pi ,2k\pi +\pi ](k\in \mathbb{Z})$ 上单调递减. (3) $y=\tan x$ 在 $\left(k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi +\frac{\pi }{2}\right)(k\in \mathbb{Z})$ 上单调递增.

三角函数的单调区间问题, 绝大部分是以复合函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ , $y=A\cos (\omega x+\phi )$ , $y=A\tan (\omega x+\phi )$ 形式来考查, 这三种复合函数的外层函数为三角函数, 内层函数是一次函数. 因为一次函数的单调性是确定的, 所以根据复合函数单调性 “同增异减” 的规则, 我们就可以求出复合函数的单调区间.

例 1.31

求下列函数的单调区间.
(1) $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right);$ (2) $y=\tan \left(\frac{\pi }{6}-2x\right);$ (3) $y=\cos \left(\frac{\pi }{6}-2x\right),x\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right].$

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（1）由 $2k\pi -\frac{\pi }{2}⩽2x-\frac{\pi }{3}⩽2k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$ ，得 $k\pi -\frac{\pi }{12}⩽x⩽k\pi +\frac{5\pi }{12}(k\in \mathbb{Z})$ ，故所求函数的单调递增区间为 $\left[k\pi -\frac{\pi }{12},k\pi +\frac{5\pi }{12}\right](k\in \mathbb{Z})$ 。由 $2k\pi +\frac{\pi }{2}⩽2x-\frac{\pi }{3}⩽2k\pi +\frac{3\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$ ，得 $k\pi +\frac{5\pi }{12}⩽x⩽k\pi +\frac{11\pi }{12}(k\in \mathbb{Z})$ ，故所求函数的单调递减区间为 $\left[k\pi +\frac{5\pi }{12},k\pi +\frac{11\pi }{12}\right](k\in \mathbb{Z})$ 。

(2) $y=\tan \left(\frac{\pi }{6}-2x\right)=-\tan \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ , 由 $k\pi -\frac{\pi }{2}<2x-\frac{\pi }{6}<k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$ , 得 $\frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{6}<x<\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$ , 故所求函数的单调递减区间为 $\left(\frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{6},\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)(k\in \mathbb{Z})$ 。

在 (1) 与 (2) 中的自变量 $x$ 没有额外限制条件, 因此, 我们直接把内层函数看成整体 (相当于换元) 来得出 $x$ 的取值范围, 从而确定单调区间. 若所给自变量是有范围限制呢? 此时我们最好采取换元法来操作, 这样便于理解.

(3) 先把内层函数的一次项系数变为正数, 即 $y=\cos \left(\frac{\pi }{6}-2x\right)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ . 令 $t=2x-\frac{\pi }{6}$ , 由 $x\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 可得 $t\in \left[-\frac{2\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$ , 从而可知 $y=\cos t$ 在 $\left[-\frac{2\pi }{3},0\right]$ 上单调递增. 再由 $t=2x-\frac{\pi }{6}$ 可得出 $x$ 此时的范围, 即 $-\frac{2\pi }{3}⩽2x-\frac{\pi }{6}⩽0\Rightarrow -\frac{\pi }{4}⩽x⩽\frac{\pi }{12}$ , 所以函数 $y=\cos \left(\frac{\pi }{6}-2x\right)$ 在 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{12}\right]$ 上单调递增, 即单调递增区间为 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{12}\right]$ . 同理, 得到函数 $y=\cos \left(\frac{\pi }{6}-2x\right)$ 的单调递减区间为 $\left[\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{2}\right]$ .

已知三角函数求其单调区间是三角函数问题中的常见题型, 很多时候都是给出单调区间求某些参数的取值范围, 这样的问题往往可以通过转化为集合间的关系来求解. 具体见下例:

例 1.32

(2018 全国 II 文 10) 若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[0,a]$ 上是减函数, 则 $a$ 的最大值为 ( ). A. $\frac{\pi }{4}$ B. $\frac{\pi }{2}$ C. $\frac{3\pi }{4}$ D. $\pi$

解析 1

$f(x)=\cos x-\sin x=-(\sin x-\cos x)=-\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 。因为 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上递减等价于 $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 在 $[0,a]$ 上递增。下面首先求 $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 的单调递增区间，令 $2k\pi -\frac{\pi }{2}⩽x-\frac{\pi }{4}⩽2k\pi +\frac{\pi }{2},k\in Z,$ 解得 $2k\pi -\frac{\pi }{4}⩽x⩽2k\pi +\frac{3\pi }{4},k\in Z,$ 即 $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left[2k\pi -\frac{\pi }{4},2k\pi +\frac{3\pi }{4}\right],k\in Z.$ 又因为 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上是减函数，所以 $[0,a]\subseteq \left[2k\pi -\frac{\pi }{4},2k\pi +\frac{3\pi }{4}\right],k\in Z,$ 因此

$$\{\begin{array}{l}2k\pi -\frac{\pi }{4}⩽0\\ 2k\pi +\frac{3\pi }{4}⩾a\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}k⩽\frac{1}{8}\\ a⩽2k\pi +\frac{3\pi }{4}\end{array},k\in \mathbb{Z}.$$

当 $k=0$ 时, $a$ 取到最大值为 $\frac{3\pi }{4}$ , 故选$C$.

因为 $f(x)=-\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 是复合函数, 其内层函数 $u=x-\frac{\pi }{4}$ 单调递增, 利用复合函数单调性的“同增异减”规则, 我们只需保证外层函数 $y=-\sqrt{2}\sin u$ 单调递减. 可以采取换元思想:

解析 2

$f(x)=-\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ ，令 $u=x-\frac{\pi }{4},x\in [0,a]$ ，则 $u\in \left[-\frac{\pi }{4},a-\frac{\pi }{4}\right].$

由 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上是减函数, 得 $y=\sin u$ 在 $\left[-\frac{\pi }{4},a-\frac{\pi }{4}\right]$ 上单调递增. 又 $y=\sin u$ 在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递增, 所以 $\left[-\frac{\pi }{4},a-\frac{\pi }{4}\right]\subseteq \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ , 即 $-\frac{\pi }{4}<a-\frac{\pi }{4}⩽\frac{\pi }{2}$ , 化简得 $0<a⩽\frac{3\pi }{4}$ , 故选 $C$.

比较例1.32中的两种解法, 显然解析2 要简洁一些, 后面我们以解析2 的方法为主. 现将两种解法总结如下:

方法总结 1.1

已知 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )(\omega >0)$ 在区间 $D$ 单调，求某个参数范围.方法一：先求出 $f(x)$ 的对应单调区间为 $I$ ，再利用 $D\subseteq I$ 求出参数范围.方法二：令 $u=\omega x+\phi ,$ 由 $x\in D,$ 得 $u\in M,$ 求出 $y=\sin u$ 对应的单调区间 $N$ ，再利用 $M\subseteq N$ 求解.

$f(x)=A\cos (\omega x+\phi )$ 或 $f(x)=A\tan (\omega x+\phi )$ 的求解方式与方法总结1.1类似.

例 1.33

（2012 全国理 9）已知 $\omega >0$ ，函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$ 在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 上单调递减，则 $\omega$ 的取值范围是（）.

A. $\left[\frac{1}{2},\frac{5}{4}\right]$ B. $\left[\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right]$ C. $\left(0,\frac{1}{2}\right]$ D. (0, 2]

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令 $u=\omega x+\frac{\pi }{4},x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ ，则 $u\in \left(\frac{\pi }{2}\omega +\frac{\pi }{4},\pi \omega +\frac{\pi }{4}\right)$ 。由于 $y=\sin u$ 的单调递减区间为 $\left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right]$ ， $k\in \mathbb{Z}$ ，所以 $\left(\frac{\pi }{2}\omega +\frac{\pi }{4},\pi \omega +\frac{\pi }{4}\right)\subseteq \left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right]$ ， $k\in \mathbb{Z}$ ，即 $\{\begin{array}{l}\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽\frac{\pi }{2}\omega +\frac{\pi }{4}\\ \pi \omega +\frac{\pi }{4}⩽\frac{3\pi }{2}+2k\pi \end{array}$ ， $k\in \mathbb{Z}$ ，化简可得 $\frac{1}{2}+4k⩽\omega ⩽\frac{5}{4}+2k,k\in \mathbb{Z}$ 。因为 $\omega >0$ ，所以 $k$ 只需满足 $\{\begin{array}{l}\frac{5}{4}+2k>0\\ \frac{1}{2}+4k<\frac{5}{4}+2k\end{array}$ ， $k\in \mathbb{Z}$ ，解得 $-\frac{5}{8}<k<\frac{3}{8}(k\in \mathbb{Z})$ ，故可得 $k=0$ ，于是 $\omega \in \left[\frac{1}{2},\frac{5}{4}\right]$ ，故选 $A$.

变式 1.33.1

(2023 全国名校联考) 已知函数 $f(x)=\sin \omega x+2{\cos }^2\frac{\omega x}{2}(\omega >0)$ 在区间 $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right)$ 上单调递增，则 $\omega$ 的取值范围是（）.

A. (0,4] B. $\left(0,\frac{2}{3}\right]\cup \left[\frac{8}{3},4\right]$ C. $\left[\frac{5}{2},3\right]$ D. $\left(0,\frac{1}{3}\right]\cup \left[\frac{5}{2},3\right]$