1.1.1 平方关系与商数关系

在三角函数的公式中, 平方关系和商数关系是最基础的, 也是最重要的, 应无条件记住它们.

知识点 1.1

(1) 平方关系: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ ; (2) 商数关系: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ .

利用平方关系可以实现正弦和余弦的互化, 利用商数关系可以实现弦和切的互化, 也就是说 $\sin \alpha$ , $\cos \alpha$ , $\tan \alpha$ 只要知道一个, 一定能求出另外两个, 我们称为“知一求二”.

例 1.1

(2023 全国乙文 14) 若 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ , $\tan \theta =\frac{1}{2}$ , 则 $\sin \theta -\cos \theta =$ ____.

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因为 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ , 所以 $\sin \theta >0$ , $\cos \theta >0$ , 又 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{1}{2}$ , ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ , 联立两个方程, 解得 $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$ , $\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{5}}$ , 因此 $\sin \theta -\cos \theta =-\frac{\sqrt{5}}{5}$ , 故填 $-\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

我们再来看看“知一求二”的升级版本, 由平方关系很容易得到

$$(\sin \alpha \pm \cos \alpha {)}^2={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \pm 2\sin \alpha \cos \alpha =1\pm 2\sin \alpha \cos \alpha .$$

故 $\sin \alpha \pm \cos \alpha ,\sin \alpha \cos \alpha$ 也可以做到“知一求二”.

例 1.2

若 $\theta \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right),\sin \theta +\cos \theta =\frac{\sqrt{17}}{4}$ ，则 $\cos \theta -\sin \theta$ 的值为（ ）.

A. $-\frac{\sqrt{15}}{4}$ B. $-\frac{\sqrt{13}}{4}$ C. $-\frac{1}{4}$ D. $-\frac{\sqrt{3}}{4}$

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因为 $\sin \theta +\cos \theta =\frac{\sqrt{17}}{4}$ , 两边平方得 $1+2\sin \theta \cos \theta =\frac{17}{16}$ , 即 $2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{16}$ , 又因为 $\theta \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ , 所以 $\sin \theta >\cos \theta$ , 即 $\cos \theta -\sin \theta <0$ , 从而

$$\cos \theta -\sin \theta =-\sqrt{(\cos \theta -\sin \theta {)}^2}=-\sqrt{1-2\sin \theta \cos \theta }=-\frac{\sqrt{15}}{4}.$$

故选A.

变式 1.2.1

(2023 全国模考) 已知 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2-ax+a=0$ 的两根, 则 $\frac{{\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha +{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }{2-2\sin \alpha \cos \alpha }=$ ____.

例1.2 的模式固定, 是非常明显的 “知一求二”, 但是我们见到更多的是形如 $a\sin \alpha \pm b\cos \alpha =c$ , 求 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 或 $\tan \alpha$ 的情况. 我们最容易想到的方法是联立 $\{\begin{array}{rl}a\sin \alpha +b\cos \alpha & =c\\ {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha & =1\end{array}$ ，然后算出 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 或 $\tan \alpha$ .

例 1.3

（2013 浙江理 6 节选）已知 $\alpha \in R,\sin \alpha +2\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{2}$ ，则 $\tan \alpha =$ ____ .

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将 $\sin \alpha +2\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{2}$ 与平方关系联立, 得

$\{\begin{array}{l}\sin \alpha +2\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{2}\\ {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\end{array}$ ，解得 $\{\begin{array}{l}\sin \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}\\ \cos \alpha =\frac{3\sqrt{10}}{10}\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}\sin \alpha =\frac{3\sqrt{10}}{10}\\ \cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}\end{array},$

所以 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{1}{3}$ 或 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=3,$ 故填 $-\frac{1}{3}$ 或3.

我们还可以构造齐次式, 从而齐次化切, 具体过程见例1.22.