3.5 数量积 (二)

向量的数量积不仅是重点, 也是难点, 一直以来备受高考命题专家的青睐. 究其原因, 就是这类题的切入点众多. 无论有多少切入点, 建系仍然是首选.

例 3.47

(2023 合肥模考) 已知 $A$, $B$, $C$ 是单位圆上的三个动点, 则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ 的最小值是 ( ) . A. 0 B. $-\frac{1}{2}$ C. -1 D. -2

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以圆心 $O$ 为坐标原点，建立直角坐标系．设 $A(1,0)$ ， $B(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ ， $C(\cos \beta ,\sin \beta )$ $\alpha ,\beta \in [0,2\pi )$ ，可得 $\overrightarrow{AB}=(\cos \alpha -1,\sin \alpha ),\overrightarrow{AC}=(\cos \beta -1,\sin \beta )$ ，则

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha -\cos \beta +1.$$

由于 $\alpha ,\beta \in [0,2\pi )$ 且相互独立. 因此, 可以选择其中一个变量作为“主元”, 不妨把 $\beta$ 看成主元, 由辅助角公式可得

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}& =(\cos \alpha -1)\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha +1\\ & =\sqrt{(\cos \alpha -1{)}^2+{\sin }^2\alpha }\sin (\beta -\phi )-\cos \alpha +1\\ & ⩾-\sqrt{(\cos \alpha -1{)}^2+{\sin }^2\alpha }-\cos \alpha +1\\ & =-\sqrt{2-2\cos \alpha }-\cos \alpha +1.\end{array}$$

令 $t=\sqrt{2-2\cos \alpha }$ , 则 $\cos \alpha =1-\frac{1}{2}{t}^2$ , 由 $\cos \alpha \in [-1,1]$ , 可知 $t\in [0,2]$ . 于是

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}⩾\frac{1}{2}{t}^2-t=\frac{1}{2}(t-1{)}^2-\frac{1}{2}⩾-\frac{1}{2},$$

当且仅当 $t=1$ 时等号成立, 所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ 的最小值是 $-\frac{1}{2}$ , 故选 $B$.

例3.47中的解题思路和方法几乎与例3.34及其变式完全相同。只要熟练掌握了例3.34及其变式，处理例3.47应该没有任何障碍。很明显，利用建系解题的作用是不可小觑的。

在本节中, 我们将介绍几种常见的求解数量积的方法. 我们以求数量积 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ 为例, 介绍这几种方法的适用范围.

(1) 若 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ 的模和夹角都知道, 直接利用公式即可, 这是求数量积最简单的一种情况, 我们在3.1.3小节已经介绍过.

(2) 若 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ 的模和夹角都不知道, 可以考虑用一组模长和夹角都知道的基底表示.

(3) 若知道 $AB$ 和它的中线的长度, 可以考虑极化恒等式.

(4) 若知道 $|\overrightarrow{OA}|$ , $|\overrightarrow{OB}|$ 和 $|\overrightarrow{AB}|$ , 可以考虑向量余弦公式.