1.1.2 诱导公式

高中数学中有一些刻骨铭心的公式口诀, 很多人即便走上工作岗位, 从事与数学完全不相关的工作,但仍能够流利地背诵它们 (也许他们完全忘记了这些公式的具体含义). 现在, 我们来看看诱导公式的口诀: “奇变偶不变, 符号看象限”.

知识点 1.2

求 $\frac{\pi }{2}\cdot k\pm \alpha (k\in Z)$ 的三角函数值, 可以用诱导公式, 其口诀为 “奇变偶不变, 符号看象限”, 其中 $\alpha$ 当成锐角看.

口诀的解释: 奇变偶不变是指, 当 $k$ 为奇数时, 函数名改变, 即正弦变余弦, 余弦变正弦; 当 $k$ 为偶数时, 三角函数名不改变, 即正弦还是正弦, 余弦还是余弦. 符号看象限是指, 在把 $\alpha$ 当成锐角的前提下, 看的是 $\frac{\pi }{2}\cdot k\pm \alpha (k\in \mathbb{Z})$ 在原三角函数所在象限的符号.

我们通过下面例题详细解释口诀的含义.

例 1.4

（2023 辽宁期中）已知 $\sin 37^{\circ }=\frac{3}{5}$ 则 $\cos 593^{\circ }=()$ .

A. $\frac{3}{5}$ B. $-\frac{3}{5}$ C. $\frac{4}{5}$ D. $-\frac{4}{5}$

解析 1

$\cos 593^{\circ }=\cos (90^{\circ }\times 6+53^{\circ })$ ，因为6是偶数，所以函数名不变，即余弦还是余弦，又 $90^{\circ }\times 6+$ 锐角在第三象限，故余弦为负，所以 $\cos 593^{\circ }=-\cos 53^{\circ }=-\cos (90^{\circ }\times 1-37^{\circ })$ 。因为1是奇数，

所以函数名改变, 即余弦变正弦. 又 $\underset{\stackrel{◯}{2}}{\underbrace{90^{\circ }\times 1-\text{锐角}}}$ 在第一象限, 故余弦为正, 所以 $\cos 53^{\circ }=\sin 37^{\circ }=\frac{3}{5}$ , 即 $\cos 593^{\circ }=-\frac{3}{5}$ , 故选 $B$.

解析1 先用了 “偶不变”, 我们也可以先用 “奇变”.

解析 2

$\cos 593^{\circ }=\cos (90^{\circ }\times 7-37^{\circ })$ , 因为 7 是奇数, 所以函数名改变, 即余弦变正弦, 又 $90^{\circ }\times 7-$ 锐角 在第三象限, 故余弦为负, 所以 $\cos 593^{\circ }=-\sin 37^{\circ }=-\frac{3}{5}$ , 故选 $B$.

同学们是否对①②③有疑问呢？以①为例，明明是 $90^{\circ }\times 6+53^{\circ }$ ，我们为什么要写成 $90^{\circ }\times 6+$ 锐角呢？这是因为我们要强调口诀中 $\alpha$ 当成锐角看这句话， $\alpha$ 只是当成，而不一定必须是锐角。

例 1.5

(2023 广东单元测试) 已知角 $\alpha$ 终边上一点 $P(-2,3)$ ，则 $\frac{\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)\sin (\pi +\alpha )}{\cos (\pi -\alpha )\sin (3\pi -\alpha )}$ 的值为 ( )。

A. $\frac{3}{2}$ B. $-\frac{3}{2}$ C. $\frac{2}{3}$ D. $-\frac{2}{3}$

查看解析与步骤

因为点 $P(-2,3)$ 在角 $\alpha$ 终边上, 所以 $\tan \alpha =-\frac{3}{2}$ . 显然 $\alpha$ 是第二象限角, 但用诱导公式口诀时, 我们要把 $\alpha$ 当成锐角看, 于是得到

$$\text{原式}=\frac{\cos \left(\frac{\pi }{2}\times 1+\alpha \right)\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2}\times 2+\alpha \right)}{\cos \left(\frac{\pi }{2}\times 2-\alpha \right)\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2}\times 6-\alpha \right)}=\frac{(-\sin \alpha )(-\sin \alpha )}{-\cos \alpha \sin \alpha }=-\tan \alpha =\frac{3}{2}.$$

故选 $A$.

用诱导公式的前提条件是角度能化为 $\frac{\pi }{2}\cdot k\pm \alpha (k\in \mathbb{Z})$ 的形式, 如果不能化为这种形式, 则需要观察题目中出现的多个角是否能够通过加或减凑出 $\frac{\pi }{2}\cdot k(k\in \mathbb{Z})$ , 如果能, 那么依然能用诱导公式. 在 1.2 节我们会详细讲解.

变式 1.5.1

(2023 辽宁联考) 若 $\cos \left(\frac{7\pi }{2}+\alpha \right)=\frac{4}{7},\tan \alpha <0,\cos (\pi -\alpha )+\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\cdot \tan \alpha =$ ( ).

A. $\frac{4-\sqrt{33}}{7}$ B. $\frac{4+\sqrt{33}}{7}$ C. $\frac{-4+\sqrt{33}}{7}$ D. $\frac{-4-\sqrt{33}}{7}$