1.4 三角函数图像与性质（二）

在 1.3 节我们说过, “三角函数的本质还是函数, 函数可谓是 ‘得图像者得天下’”, 所以掌握好三角函数的图像, 很多问题便迎刃而解. 我们首先介绍平移变换和伸缩变换.

平移变换

(1) 把 $y=f(x)$ 的图像向左平移 $a(a>0)$ 得到函数 $y=f(x+a)$ 的图像.

(2) 把 $y=f(x)$ 的图像向右平移 $a(a>0)$ 得到函数 $y=f(x-a)$ 的图像.

(3) 把 $y=f(x)$ 的图像向上平移 $b(a>0)$ 得到函数 $y=f(x)+b$ 的图像.

(4) 把 $y=f(x)$ 的图像向下平移 $b(a>0)$ 得到函数 $y=f(x)-b$ 的图像.

上述的平移变换可以用一句口诀来总结: “左加右减, 上加下减”.

你或许想过这个问题, 对于 “上加下减” 很好理解, 因为往上 $y$ 变大, 所以要加; 往下 $y$ 变小, 所以要减. 同理, 你是不是就会想, 那往左 $x$ 变小, 肯定也要减啊; 往右 $x$ 变大, 肯定要加啊! 所以不应该是左减右加吗?

难道是我们的口诀错了吗？

我们以函数 $y=\sin x$ 为例来作一个简单的说明, 比如将它的图像向左平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位后得到什么函数的图像呢? 假设 $(x_0,y_0)$ 是 $y=\sin x$ 图像上的一点, 因为我们将 $y=\sin x$ 的图像向左平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位, 所以 $(x_0,y_0)$ 被平移至 $(x_1,y_1)=\left(x_0-\frac{\pi }{3},y_0\right)$ . 我们的目标是找出 $x_1$ 和 $y_1$ 的对应关系. 因为 $x_0=x_1+\frac{\pi }{3},y_0=y_1$ 且 $y_0=\sin x_0$ , 所以 $y_1=\sin \left(x_1+\frac{\pi }{3}\right)$ . 也就是说, $y=\sin x$ 图像上的点向左平移 $\frac{\pi }{3}$ 后落在 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图像上.

总之, 横轴上的变化总有点 “叛逆” 的感觉, 与之类似的是伸缩变换.

伸缩变换

(1) 将 $y=f(x)$ 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 $a(a>1)$ 倍或缩短到原来的 $a(0<a<1)$ 倍, 而纵坐标不变, 得到函数 $y=f\left(\frac{x}{a}\right)$ 的图像.

(2) 将 $y=f(x)$ 的图像上各点的纵坐标伸长到原来的 $A(A>1)$ 倍或缩短到原来的 $A(0<A<1)$ 倍, 而横坐标不变, 得到函数 $y=Af(x)$ 的图像.