4.3.2 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种: 相离、相切与相交. 判断方法主要为几何法和代数法:

知识点 4.18

(1) 几何法: 设圆 $C$ 的半径为 $r$, 圆心到直线 $\ell$ 的距离为 $d$, 则: ① 当 d < r 时, $\ell$ 与 $C$ 相交; ② 当 d = r 时, $\ell$ 与 $C$ 相切; ③ 当 d > r 时, $\ell$ 与 $C$ 相离. (2) 代数法: 联立直线与圆的方程, 消元后得到一元二次方程, 求出判别式 $\Delta$ , 则: ① 当 $\Delta >0$ 时, $\ell$ 与 $C$ 相交; ② 当 $\Delta =0$ 时, $\ell$ 与 $C$ 相切; ③ 当 $\Delta <0$ 时, $\ell$ 与 $C$ 相离.

虽然两种方法都能判断直线与圆的位置关系, 但一般来说, 几何法的计算量更小.

例 4.36

（2021 新高考Ⅱ 11-多选题）已知直线 $\ell :ax+by-r^2=0$ ，圆 $C:x^2+y^2=r^2$ ，点 $A(a,b)$ ，下列命题中的真命题有（）. A. 若 $A$ 在 $C$ 上, 则 $\ell$ 与 $C$ 相切 B. 若 $A$ 在 $C$ 内, 则 $\ell$ 与 $C$ 相离 C. 若 $A$ 在 $C$ 外, 则 $\ell$ 与 $C$ 相离 D. 若 $A$ 在 $\ell$ 上, 则 $\ell$ 与 $C$ 相切

查看解析与步骤

圆心 $C$ 到直线 $\ell$ 的距离 $d=\frac{|a\cdot 0+b\cdot 0-r^2|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{r^2}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

选项 $A$, 若点 $A(a,b)$ 在圆 $C$ 上, 则 $a^2+b^2=r^2$ , 即 $d=r$ , 所以直线 $\ell$ 与圆 $C$ 相切, $A$ 正确.
选项 $B$, 若点 $A(a,b)$ 在圆 $C$ 内, 则 $a^2+b^2<r^2$ , 即 $d>r$ , 所以直线 $\ell$ 与圆 $C$ 相离, $B$ 正确.
选项 $C$, 若点 $A(a,b)$ 在圆外, 则 $a^2+b^2>r^2$ , 即 $d<r$ , 所以直线 $\ell$ 与圆 $C$ 相交, $C$ 错误.
选项 $D$, 因为点 $A$ 在 $\ell$ 上, 所以 $a^2+b^2=r^2$ , 即 $d=r$ , 所以直线 $\ell$ 与圆 $C$ 相切, $D$ 正确.
故选 ABD.

反过来, 如果知道直线与圆的位置关系, 我们也可以通过几何法求参数的值或范围.

例 4.37

已知过点 $A(1,0)$ 的直线 $\ell$ 与圆 $C(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=1$ 有一个交点，则直线 $\ell$ 的方程为 ____.

解析 1

根据题意可设直线 $\ell$ 的方程为 y = kx - k，因为直线 $\ell$ 与圆只有一个交点，所以直线 $\ell$ 与圆 $C$ 相切，则 $\frac{|k-3|}{\sqrt{1+k^2}}=1$ ，解得 $k=\frac{4}{3}$ ，所以直线 $\ell$ 的方程为 $y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}$ ，整理得 4x - 3y - 4 = 0，故填 4x - 3y - 4 = 0。

这个解法是错的, 什么地方出错了呢? 因为 $A(1,0)$ 在圆外, 而过圆外的点可以作圆的两条切线, 但是通过上面的解析1 却只得到一条直线, 因此可知还有一条直线遗漏, 遗漏的是斜率不存在的情形. 正确解析如下:

解析 2

(1) 当直线的斜率不存在时, 直线方程为 x = 1, 圆心到直线的距离恰好等于半径 1, 因此符合题意.

(2) 当直线的斜率存在时, 同解析1.

综上可知, 直线 $\ell$ 的方程为 $4x-3y-4=0$ 或 $x=1$ , 故填 $4x-3y-4=0$ 或 $x=1$ .

变式 4.37.1

(2022 新高考 II15) 设点 $A(-2,3),B(0,a)$ , 直线 $AB$ 关于直线 $y=a$ 的对称直线为 $\ell$ , 已知 $\ell$ 与圆 $C:(x+3{)}^2+(y+2{)}^2=1$ 有公共点, 则 $a$ 的取值范围为 ____.

有时候题目会把圆或直线隐藏起来, 需要我们通过题意将圆或直线找出来, 比如下面的例题:

例 4.38

(2022 唐山高三模拟) 已知圆 $O:x^2+y^2=r^2(r>0)$ ，设直线 $\ell :x+2y-8=0$ 与两坐标轴的交点分别为 $A$, $B$，若圆 $O$ 上存在点 $P$ 满足 $|AP|=|BP|$ ，则 $r$ 的最小值为（）. A. $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ B. $\frac{6}{5}$ C. $2\sqrt{5}$ D. 3

思路分析

因为 $|AP|=|BP|$ ，所以 $P$ 的轨迹为线段 $AB$ 的垂直平分线，故只需满足圆 $O$ 与线段 $AB$ 的垂直平分线相交或相切即可.

查看解析与步骤

如图 4-10所示, 设直线 $\ell :x+2y-8=0$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于 $A,B$ , 则 $A(8,0),B(0,4)$ , 设 $AB$ 的中点为 $C$ , 故 $C$ 为 (4,2). 由 $|AP|=|BP|$ , 可知 $P$ 的轨迹为线段 $AB$ 的垂直平分线. 不妨设为 ${\ell }^{\prime }$ , 因为 $AB$ 的斜率为 $-\frac{1}{2}$ , 故 ${\ell }^{\prime }$ 的斜率为 2, 于是 ${\ell }^{\prime }$ 的方程为 $y-2=2(x-4)$ , 即 ${\ell }^{\prime }:2x-y-6=0$ . 依题意可得, 圆 $O$ 与直线 ${\ell }^{\prime }$ 相交或相切, 故圆心 $O$ 到直线 ${\ell }^{\prime }$ 的距离 $d⩽r$ , 即 $\frac{|2\times 0-0-6|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}⩽r$ , 解得 $r⩾\frac{6\sqrt{5}}{5}$ , 故选 $A$.

图4-10

变式 4.38.1

已知点 A(2,3)，点 B(6,-3)，点 $P$ 在直线 $3x-4y+3=0$ 上，若满足等式 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}+2\lambda =0$ 的点 $P$ 有两个，则实数 $\lambda$ 的取值范围是 ____.

同学们应该发现了, 前面几个例题都是用圆心到直线的距离来解题, 之所以可以这样解, 是由圆的几何性质所决定的, 但遇到的曲线不是完整的圆的时候, 直接用圆心到直线的距离解题会出现问题.

例 4.39

当曲线 $y=1+\sqrt{4-x^2}$ 与直线 $y=k(x-2)+4$ 有两个相异交点时, 实数 $k$ 的取值范围是 ( ).

A. $\left(\frac{5}{12},+\infty \right)$ B. $\left(\frac{5}{12},\frac{3}{4}\right]$ C. $\left(0,\frac{5}{12}\right)$ D. $\left(\frac{1}{3},\frac{3}{4}\right]$

查看解析与步骤

首先把曲线化简为 $x^2+(y-1{)}^2=4,y\in [1,3]$ , 画出曲线图像, 如图 4-11 所示. 直线 $y=k(x-2)+4$ 恒过定点 (2,4), 当直线与半圆相切时, 可得 $\frac{|2k-3|}{\sqrt{1+k^2}}=2$ , 解得切线 ${\ell }_2$ 斜率 $k_2=\frac{5}{12}$ , 然后绕着 (2,4) 逆时针旋转, 旋转过程中会出现两个不同交点, 一直到直线经过点 (-2,1), 此时得到直线 ${\ell }_1$ 的斜率 $k_1=\frac{4-1}{2-(-2)}=\frac{3}{4}$ , 因此 $k\in \left(\frac{5}{12},\frac{3}{4}\right]$ , 故选 $B$.

图4-11