3.4 三点共线

在 3.2 节和 3.3 节, 我们一直不遗余力地向同学们灌输这样一个思想: 在处理向量问题时, 优先考虑建立坐标系.

例 3.35

(2007 江西 15) 如图 3-26 所示, 在 $△ABC$ 中, 点 $O$ 是 $BC$ 的中点, 过点 $O$ 的直线分别交直线 $AB$ , $AC$ 于不同的两点 $M,N$ . 若 $\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AN}$ , 则 $m+n$ 的值为 ____.

图3-26

图3-27

查看解析与步骤

以点 $O$ 为坐标原点, BC 所在直线为 $x$ 轴, BC 的垂直平分线为 $y$ 轴建立直角坐标系, 如图 3-27 所示. 设 BC = 2, 则 $B(-1,0)$ , $C(1,0)$ , 设点 $A$ 坐标为 $(x_0,y_0)$ , 再设 $M(x_1,y_1)$ , $N(x_2,y_2)$ . 由 $\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AM}$ , 可得 $\{\begin{array}{rl}{x}_1& =\frac{(m-1)x_0-1}{m}\\ y_1& =\frac{(m-1)y_0}{m}\end{array}$ . 由 $\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AN}$ 可得 $\{\begin{array}{rl}{x}_2& =\frac{(n-1)x_0+1}{n}\\ y_2& =\frac{(n-1)y_0}{n}\end{array}$ . 又因为点 $M$, $O$, $N$ 三点共线, 则 $\overrightarrow{OM}=\lambda \overrightarrow{ON}$ , 可得 $x_1{y}_2=x_2{y}_1$ , 于是

$$\frac{(m-1)x_0-1}{m}\cdot \frac{(n-1)y_0}{n}=\frac{(n-1)x_0+1}{m}\cdot \frac{(m-1)y_0}{n},$$

化简可得 $[(m-1)x_0-1](n-1)=[(n-1)x_0+1](m-1)$ , 解得 $m+n=2$ , 故填 2.

从例3.35的解析中可以看出, 其计算量不小. 然而, 如果我们采用几何法, 计算量将大大减少 (见例3.36). 因此, 我们不能盲目地建立坐标系, 而是要考虑建系是否方便和计算量会不会过大. 如果建系会导致巨大的计算量, 强行建系是不可取的. 在这种情况下, 可以考虑采用几何法. 然而, 几何法多种多样, 为了最小化代价, 本书的后几节将介绍一些最常见、最基本的几何法.

我们先从三点共线开始.

如果 $A,P,B$ 三点共线，由共线定理可知，必然存在 $\lambda$ ，使得 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$ 成立。反之，如果 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$ ，那么由共线定理可知向量 $\overrightarrow{AP}$ 与向量 $\overrightarrow{PB}$ 共线，因为这两个有向线段有公共点，所以可知 $A,P,B$ 三点共线。若对 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$ 进行减法变形，我们会得到如下结论：

结论总结 3.2

$A$, $P$, $B$ 三点共线 $⟺\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}⟺\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}(x+y=1)$ .

对于这个结论, 一定要熟练掌握, 它是高考中的高频考点, 下面给出 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$ 是 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}(x+y=1)$ 充要条件的证明.

证明

(1) 先证充分性: 因为 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$ , 故由向量的减法可得

$$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\lambda (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP})⟹\overrightarrow{OP}=\frac{1}{1+\lambda }\overrightarrow{OA}+\frac{\lambda }{1+\lambda }\overrightarrow{OB}.$$

令 $x=\frac{1}{1+\lambda },y=\frac{\lambda }{1+\lambda }$ , 则 $x+y=1$ .

(2) 再证必要性: 因为 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$ 且 $x+y=1$ , 所以可以将其改写为 $x\overrightarrow{OP}+(1-x)\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+(1-x)\overrightarrow{OB}$ , 于是

$$x\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}\right)=(1-x)\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}\right)⟹x\overrightarrow{AP}=(1-x)\overrightarrow{PB}.$$

令 $\lambda =\frac{1-x}{x}=\frac{y}{x}$ , 可得 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$ .

从上面的证明过程可以看出, 若点 $P$ 落在线段 $AB$ 之间, 如图 3-28 所示, 则 $\lambda >0$ , 此时 $x=\frac{1}{1+\lambda }>0$ , $y=\frac{\lambda }{1+\lambda }>0$ ; 若点 $P$ 的延长线上, 如图 3-29 所示, 则 $AB$ 的延长线上, 如图 3-29 所示, 则 $\lambda <-1$ , 此时 $x=\frac{1}{1+\lambda }<0$ , $y=\frac{\lambda }{1+\lambda }>0$ 的反向延长线上, 如图 3-30 所示, 则 $P$ 落在线段 $AB$ 的反向延长线上, 如图 3-30 所示, 则 $-1<\lambda <0$ , 此时 $x=\frac{1}{1+\lambda }>0$ , $y=\frac{\lambda }{1+\lambda }<0$ .

图3-28

图3-29

图3-30

我们也可以这样来理解记忆, 若 $P$ 落在线段 $AB$ 之间, 则 $x,y>0$ ; 若 $P$ 落在线段 $AB$ 之外, $x$ 与 $y$ 有一个为负数, 至于谁负, 就看 $P$ 离谁远. 若 $P$ 在 $AB$ 之外且离 $A$ 远, 则 $x<0$ ; 若 $P$ 在 $AB$ 之外且离 $B$ 远, 则 $y<0$ .