1. 平行与垂直

在平面直角坐标系中, 两条直线平行, 倾斜角相等; 两条直线垂直, 倾斜角差的绝对值为 $90^{\circ }$ . 将倾斜角转成斜率, 我们得到以下知识点:

知识点 4.3

设 ${\ell }_1:y=k_{1}x+b_1,{\ell }_2:y=k_{2}x+b_2$ ，则：

(1) 若 $k_1=k_2$ 且 $b_1\ne b_2$ , 则 ${\ell }_1//{\ell }_2$ ;

(2) 若 $k_1\cdot k_2=-1$ , 则 ${\ell }_1\perp {\ell }_2$ .

务必注意, 知识点4.3 成立的前提条件是直线的斜率存在. 因此, 在利用直线的斜率来判断平行和垂直关系时, 首要考虑直线斜率的存在性. 如果将直线表示为一般式, 则无须讨论, 但相应的结论可能不易记忆. 因此我们不提倡记忆一般形式的结论.

例 4.6

已知直线 ${\ell }_1:ax+2y+6=0$ 和直线 ${\ell }_2:x+(a-1)y+a^2-1=0,$ 若 ${\ell }_1\parallel {\ell }_2,$ 则 a = ____.

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据条件可知直线的斜率存在, 则可得 $k_1=-\frac{a}{2},k_2=\frac{1}{1-a}$ , 因为 ${\ell }_1//{\ell }_2$ , 则 $k_1=k_2$ , 可得 $-\frac{a}{2}=\frac{1}{1-a}$ , 解得 $a=2$ 或 $a=-1$ .

当 $a=2$ 时, ${\ell }_1:x+y+3=0$ , ${\ell }_2:x+y+3=0$ , 此时直线 ${\ell }_1,{\ell }_2$ 重合, 不满足题意, 故舍去. 当 $a=-1$ 时, ${\ell }_1:-x+2y+6=0$ , ${\ell }_2:x-2y=0$ , 故 ${\ell }_1//{\ell }_2$ , 满足题意.

综上, 可知 a = -1, 故填 -1.

变式 4.6.1

（2023 吉林统考二模）已知 a > 0, b > 0, 若直线 ${\ell }_1:ax+by-2=0$ 与直线 ${\ell }_2:2x+(1-a)y+1=0$ 垂直, 则 $a+2b$ 的最小值为 ( ).

A. 1 B. 3 C. 8 D. 9