1.3.2 周期性

知识点 1.6

（1）函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的最小正周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ ; (2) 函数 $y=A\cos (\omega x+\phi )$ 的最小正周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ ; (3) 函数 $y=A\tan (\omega x+\phi )$ 的最小正周期 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$ .

例 1.34

（2018 全国Ⅲ文 6）函数 $f(x)=\frac{\tan x}{1+{\tan }^{2}x}$ 的最小正周期为（）. A. $\frac{\pi }{4}$ B. $\frac{\pi }{2}$ C. $\pi$ D. $2\pi$

查看解析与步骤

$f(x)=\frac{\tan x}{1+{\tan }^{2}x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x.$ 因此 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ ，故选$C$.

如果将知识点1.6中的三个函数都加绝对值, 那么三个函数的最小正周期是否发生变化呢? 我们先看形如 $|f(x)|$ 的函数, 其图像可以通过上下翻折变换得到.

例 1.35

下列函数是否为周期函数, 如果是周期函数, 求最小正周期: ($I$) $f(x)=|\sin 2x|$ ; (II) $f(x)=|\tan 2x|$ .

查看解析与步骤

($I$) 先画出 $y=\sin 2x$ 的图像, 保留 $x$ 轴上方图像, 再将 $y=\sin 2x$ 的下方的图像沿 $x$ 轴翻折到上方, 得到 $y=|\sin 2x|$ 的图像, 如图 1-4所示. 观察图像可知 $y=|\sin 2x|$ 的最小正周期是 $y=\sin 2x$ 的一半, 即为 $T=\frac{\pi }{2}$ .

(II) 先画出 $y=\tan 2x$ 的图像, 保留 $x$ 轴上方图像, 再将 $y=\tan 2x$ 的下方的图像沿 $x$ 轴翻折到上方, 得到 $y=|\tan 2x|$ 的图像, 如图 1-5所示, 观察图像可知 $y=|\tan 2x|$ 的最小正周期和 $y=\tan 2x$ 相同, 都为 $T=\frac{\pi }{2}$ .

图1-4

图1-5

例 1.36

（$I$） $y=\left|\sin 2x+\frac{1}{2}\right|$ （Ⅱ） $f(x)=|\tan 2x+2|$

查看解析与步骤

($I$) 先画出 $y=\sin 2x+\frac{1}{2}$ 的图像, 再通过翻折变换得到 $y=\left|\sin 2x+\frac{1}{2}\right|$ 的图像, 如图 1-6 所示. 观察图像可知 $y=\left|\sin 2x+\frac{1}{2}\right|$ 的周期和 $y=\sin 2x+\frac{1}{2}$ 的周期相等, 即为 $T=\pi$ .

(II) 先画出 $y=\tan 2x+2$ 的图像, 再通过翻折变换得到 $y=|\tan 2x+2|$ 的图像, 如图 1-7所示. 观察图像可知 $y=|\tan 2x+2|$ 的周期和 $y=\tan 2x+2$ 相等, 即为 $T=\frac{\pi }{2}$ .

图1-6

图1-7

例1.35和例1.36是 $y=|\sin (\omega x+\phi )+k|,y=|\cos (\omega x+\phi )+k|,y=|\tan (\omega x+\phi )+k|$ 中 $\phi =0$ 的两类特殊情况。现在的问题是，如果 $\phi \ne 0$ 时，类似结论还成立吗？经过画图验证，它们依然满足这两道例题的结论，现总结如下：

经验总结 1.4

（1） $y=|A\sin (\omega x+\phi )+k|$ ，当 $k=0$ 时， $T=\frac{\pi }{|\omega |}$ ；当 $k\ne 0$ 时， $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ (2） $y=|A\cos (\omega x+\phi )+k|$ ，当 $k=0$ 时， $T=\frac{\pi }{|\omega |}$ ；当 $k\ne 0$ 时， $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ (3） $y=|A\tan (\omega x+\phi )+k|$ ， $T=\frac{\pi }{|\omega |}$

翻折变换还有一种常见的形式, 由 $f(x)$ 得到 $f(|x|)$ , 其图像可以通过左右翻折变换得到.

例 1.37

下列函数是否为周期函数, 如果是周期函数, 求最小正周期:

($I$) $f(x)=\sin |2x|$ ; (II) $f(x)=\cos |2x|$ .

查看解析与步骤

($I$) 先画出 $y=\sin 2x$ 的图像, 去掉 $y$ 轴左侧图像, 保留 $y$ 轴右侧图像, 再将 $y$ 轴右侧图像沿 $y$ 轴翻折, 得到 $y=\sin |2x|$ 的图像, 如图 1-8 所示. 观察图像可知其不是周期函数.

(Ⅱ) 先画出 $y=\cos 2x$ 的图像, 发现 $y=\cos 2x$ 的图像关于 $y$ 轴对称, 故去掉左侧图像, 保留右侧图像, 再将右侧图像沿 $y$ 轴翻折后, 得到 $y=\cos |2x|$ 的图像与 $y=\cos 2x$ 的图像相同, 如图 1-9 所示. 因此 $y=\cos |2x|$ 的最小正周期 $T=\pi$ .

图1-8

图1-9

将例1.37扩展到一般情形, 我们得到以下结论:

经验总结 1.5

设 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi ),g(x)=A\cos (\omega x+\phi ),h(x)=A\tan (\omega x+\phi ).$

(1) 如果 $f(x)$ 或 $g(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称, 那么 $f(|x|)$ 或 $g(|x|)$ 的 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ .

(2) 如果 $f(x)$ 或 $g(x)$ 的图像不关于 $y$ 轴对称, 那么 $f(|x|)$ 或 $g(|x|)$ 不是周期函数.

(3) $h(|x|)$ 不是周期函数.

如果解析式含有绝对值 (或化简后含有绝对值), 且不是 $|f(x)|$ 或 $f(|x|)$ 的形式, 那么作图过程: 先去绝对值, 得到一个分段函数, 将每段都化简为 “ $y=A\sin (\omega x+\phi )$ ” 的形式; 再画函数图像; 最后通过图像判断函数的最小正周期. 需要强调的是, 如果我们能先找到一个周期, 那么只需画出这个周期内的图像, 比如下面例题:

例 1.38

函数 $f(x)=|\sin x|\cos x-1$ 的最小正周期与最大值的和为 ____.

查看解析与步骤

先找到 $f(x)$ 的一个周期, 因为

$$f(x+2\pi )=|\sin (x+2\pi )|\cos (x+2\pi )-1=|\sin x|\cos x-1=f(x).$$

所以 $2\pi$ 是 $f(x)$ 的一个周期, 但无法确定 $2\pi$ 是不是最小正周期, 故下一步需要画出 $f(x)$ 在 $[0,2\pi ]$ 内的图像, 由于 $f(x)$ 含有绝对值, 故考虑按绝对值内的正负进行讨论, 去掉绝对值.

(1) 当 $x\in [0,\pi )$ 时, $y=\sin x\cos x-1=\frac{1}{2}\sin 2x-1$ ; (2) 当 $x\in [\pi ,2\pi ]$ 时, $y=-\sin x\cos x-1=-\frac{1}{2}\sin 2x-1$ , 由 (1) 与 (2) 可得 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\sin 2x-1,& x\in [0,\pi )\\ -\frac{1}{2}\sin 2x-1,& x\in [\pi ,2\pi ]\end{array}$ , 如图 1-10 所示.

图1-10

由图像得函数的最小正周期为 $2\pi$ ，最大值为 $-\frac{1}{2}$ 。所以最小正周期与最大值的和为 $2\pi -\frac{1}{2}$ 。

变式 1.38.1

函数 $f(x)=\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}$ 的最小正周期为 ____.