1.6.3 $f(a) = \pm f(b)$ 与对称性的关系

我们都知道，正弦与余弦函数的图像具有对称性。换句话说，若 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的对称轴且 $a+b=2x_0$ ，则必有 $f(a)=f(b)$ 。现在的问题是，若已知 $f(a)=f(b)$ ，我们能否得到 $x=\frac{a+b}{2}$ 是对称轴呢？这个问题比较复杂，我们先从下面例题开始研究。

例 1.71

函数 $f(x)=\sin \omega x,f\left(\frac{\pi }{12}\right)=f\left(\frac{13\pi }{12}\right)$ ，是否存在 $\omega$ ，满足 $0<\omega <3$ 且 $\omega \in \mathbb{Z}$ 。

解析1

因为 $f\left(\frac{\pi }{12}\right)=f\left(\frac{13\pi }{12}\right)$ ，所以 $f(x)$ 的一条对称轴为 $x=\frac{1}{2}\times \left(\frac{\pi }{12}+\frac{13\pi }{12}\right)=\frac{7\pi }{12}$ ，则存在 $k\in \mathbb{Z}$ 使得 $\frac{7\pi }{12}\omega =\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ ，即 $\omega =\frac{6+12k}{7}(k\in \mathbb{Z})$ 。又因为 $0<\omega <3$ ，所以 $0<\frac{6+12k}{7}<3$ ，即 $-\frac{1}{2}<k<\frac{5}{4}$ ，故 $k=0,1$ 。当 $k=0$ 时，$\omega =\frac{6}{7}\notin \mathbb{Z}$ ，舍去；当 $k=1$ 时，$\omega =\frac{18}{7}\notin \mathbb{Z}$ ，舍去。故不存在 $\omega$ 满足题意。

相信有部分同学也是按照解析1 的思路来解题的，但是很遗憾地告诉大家，解析1 是错的。

错在哪里呢？错就错在 $f\left(\frac{\pi }{12}\right)=f\left(\frac{13\pi }{12}\right)$ 并不能推出 $x=\frac{1}{2}\times \left(\frac{\pi }{12}+\frac{13\pi }{12}\right)=\frac{7\pi }{12}$ 是它的一条对称轴。或许有同学就更加困惑了，我们不是有这样的结论吗？即若 $f(x)=f(2a-x)$ ，则 $f(x)$ 关于 $x=a$ 对称。不错，这个结论确实没有问题，那是因为 $f(x)=f(2a-x)$ 蕴含了对任意的 $x$ 都成立，而例1.71中的 $f\left(\frac{\pi }{12}\right)=f\left(\frac{13\pi }{12}\right)$ 明显不满足 $x$ 的任意性，故 $x=\frac{7\pi }{12}$ 就不一定是 $f(x)=\sin \omega x$ 的对称轴。

现在回到本节的核心问题之一：

问题 1

若正、余弦函数 $f(x)$ 满足 $f(a)=f(b)$ ，则 $x=\frac{a+b}{2}$ 何时是 $f(x)$ 的对称轴?

我们以最简单的三角函数，$f(x)=\sin x$ 来作说明。首先通过图 1-29～图 1-32 来直观感受一下。

图1-29

图1-30

图1-31

图1-32

图 1-29和图 1-30说明 的对称轴；图 1-31和图 1-32说明 可以是 $f(x)$ 的对称轴；图1-31和图1-32说明 $x=\frac{a+b}{2}$ 也可以不是 $f(x)$ 的对称轴，虽然它们都满足 $f(a)=f(b)$ 。

也就是说，仅仅只有 $f(a)=f(b)$ 不足以判断 $x=\frac{a+b}{2}$ 是否为 $f(x)$ 的对称轴。因此我们需要加条件。下面，我们以最简单的 $f(x)=\sin x$ 为例来推导这个条件。

由 $\sin a=\sin b$ 可知 $a+b=2k\pi +\pi$ 或 $a-b=2k\pi .$ 要想保证 $x=\frac{a+b}{2}$ 是 $\sin x$ 的对称轴，就必须有 $\frac{a+b}{2}=k\pi +\frac{\pi }{2}$ ，即此时一定要排除 $a-b=2k\pi$ 的情形。也就是说，若能添加条件 $a-b\ne 2k\pi$ ，就可以从 $\sin a=\sin b$ 推导出 $x=\frac{a+b}{2}$ 是 $\sin x$ 的对称轴。

结论总结 1.4

若正弦或余弦函数 $f(x)$ 的周期为 $T$，且满足 $f(a)=f(b)$，若 $x=a$ 与 $x=b$ 都不是对称轴，则 $x=\frac{a+b}{2}$ 是 $f(x)$ 的对称轴 $⟺b-a\ne kT(k\in \mathbb{Z})$。

对于一般形式的正弦或余弦函数也可以类似推导，具体细节请同学们完成，总结如下：

条件“$a$, $b$ 都不是对称轴”是必要的。因为若 $a$, $b$ 都是对称轴且 $f(a)=f(b)$ ，则 $x=\frac{a+b}{2}$ 必是它的对称轴，但此时 b - a = kT，这与结论正好相悖。另外

x = frac a + b2 text 不是 f (x) text 的对称轴 Longleftrightarrow b - a = k T (k ∈ mathbb Z).$$x=\frac{a+b}{2}\text{不是}f(x)\text{的对称轴}⟺b-a=kT(k\in \mathbb{Z}).$$

下面我们给出例1.71的正确解析。

解析2

记 $x_0=\frac{1}{2}\times \left(\frac{\pi }{12}+\frac{13\pi }{12}\right)=\frac{7\pi }{12}.$

(1) 若 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的对称轴，此时解法同解析1，不符合要求。

(2) 若 $x=x_0$ 不是 $f(x)$ 的对称轴，则 $\frac{13\pi }{12}-\frac{\pi }{12}=k\cdot \frac{2\pi }{\omega }$ ，即 $\omega =2k(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ 。因为 $0<\omega <3$ ，所以 $\omega =2$ ，故 $f(x)=\sin 2x$ ，经检验，此时 $f\left(\frac{\pi }{12}\right)=f\left(\frac{13\pi }{12}\right)=\frac{1}{2}$ ，符合题意。

(3) 若 $x=\frac{\pi }{12}$ 与 $x=\frac{13\pi }{12}$ 都是对称轴，则 $x=x_0$ 也是对称轴，由 (1) 可知此种情形不成立。

综上所述，可知 $\omega =2$ 。

如果你觉得结论总结1.4 的表述略显复杂，可以将其简单理解为：若 $f(x)$ 为正弦或余弦函数且 $f(a)=f(b)$ ，则要么 $a$ 与 $b$ 相差一个周期的整数倍；要么 $a$ 与 $b$ 关于 $f(x)$ 的对称轴对称。

例 1.72

(2025 新高考 I 19 节选) 求 $f(x)=5\cos x-\cos 5x$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 上的最大值。

查看解析与步骤

对 $f(x)$ 求导可得

f ^ prime (x) = - 5 sin x + 5 sin 5 x.$$f^{\prime }(x)=-5\sin x+5\sin 5x.$$

令 $f^{\prime }(x)=0$ ，可得 $\sin x=\sin 5x$ 。因为 $x\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ ，所以 $5x\in \left[0,\frac{5\pi }{4}\right]$ ，两者不可能相差 $2\pi$ 的整数倍，因此二者只能关于 $y=\sin x$ 的对称轴对称。

显然，$y=\sin x$ 在 $\left[0,\frac{5\pi }{4}\right]$ 内的对称轴只有 $\frac{\pi }{2}$ ，因此 $\frac{5x+x}{2}=\frac{\pi }{2}$ ，解得 $x=\frac{\pi }{6}$ 。故 $f(x)$ 的最大值可能出现在端点 $x=0$ 、 $x=\frac{\pi }{4}$ 及 $x=\frac{\pi }{6}$ 处，计算得

max _ x ∈ [ 0, frac π4 ] f (x) = max {f (0), f (frac π6), f (frac π4) } = 3 sqrt 3.$$\underset{x\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]}{\max }f(x)=\max \left\{f(0),f\left(\frac{\pi }{6}\right),f\left(\frac{\pi }{4}\right)\right\}=3\sqrt{3}.$$

故 $f(x)$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 上的最大值为 $3\sqrt{3}$ 。

例 1.73

(2023 四省适应性考试) 已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$ 在区间 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调，其中 $\omega$ 为正整数，$|\phi |<\frac{\pi }{2}$ ，且 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=f\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ 。

($I$) 求 $y=f(x)$ 图像的一条对称轴；

(Ⅱ) 若 $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\phi$ 。

查看解析与步骤

($I$) 因为函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$ 在区间 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调，所以 $f(x)$ 的最小正周期 $T⩾2\times \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{2\pi }{3}$ 。又因为 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=f\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ ，且 $\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{2}<\frac{2\pi }{3}<T$ ，所以 $x=\frac{1}{2}\times \left(\frac{\pi }{2}+\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{7\pi }{12}$ 为 $f(x)$ 图像的一条对称轴。

(Ⅱ) 由 ($I$) 知 $T⩾\frac{2\pi }{3}$ ，故 $\omega =\frac{2\pi }{T}⩽3$ ，由 $\omega \in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ，得 $\omega =1,2$ 或 3。

因为 $x=\frac{7\pi }{12}$ 为 $f(x)$ 的对称轴，所以 $\frac{7\pi }{12}\omega +\phi =\frac{\pi }{2}+k_1\pi ,k_1\in \mathbb{Z}$ 。又因为 $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，所以 $\frac{\pi }{6}\omega +\phi =\frac{\pi }{3}+2k_2\pi$ 或 $\frac{\pi }{6}\omega +\phi =\frac{2\pi }{3}+2k_3\pi ,k_2,k_3\in \mathbb{Z}$ 。

(1) 若 $\frac{\pi }{6}\omega +\phi =\frac{\pi }{3}+2k_2\pi ,$ 则 $\frac{5\pi }{12}\omega =\frac{\pi }{6}+(k_1-2k_2)\pi ,$ 即 $\omega =\frac{2+12(k_1-2k_2)}{5}$ ，因此不存在整数 $k_1,k_2$ ，使得 $\omega =1,2$ 或 3。

(2) 若 $\frac{\pi }{6}\omega +\phi =\frac{2\pi }{3}+2k_2\pi ,$ 则 $\frac{5\pi }{12}\omega =-\frac{\pi }{6}+(k_1-2k_3)\pi ,$ 即 $\omega =\frac{12(k_1-2k_3)-2}{5}$ 。显然不存在整数 $k_1,k_3$ ，使得 $\omega =1$ 或 3。当 $k_1=2k_3+1$ 时，$\omega =2$ ，此时 $\phi =\frac{\pi }{3}+2k_3\pi ,$ 由 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$ ，得 $\phi =\frac{\pi }{3}$ 。

变式 1.73.1

（2023 福建模考）已知函数 $f(x)=2\sin (\omega x+\phi )\left(\omega >0,|\phi |<\frac{\pi }{2}\right)$ 的图像过点 $B(0,\sqrt{3})$ ，且在 $\left(\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right)$ 上单调，把 $f(x)$ 的图像向右平移 $\pi$ 个单位之后与原来的图像重合，当 $x_1,x_2\in \left(\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right)$ 且 $x_1\ne x_2$ 时， $f(x_1)=f(x_2)$ ，则 $f(x_1+x_2)=()$ 。 A. $-\sqrt{3}$ B. $\sqrt{3}$ C. -1

D. 1

变式 1.73.2

（2023 黑龙江模拟）已知函数 $f(x)=3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-2{\cos }^2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)+1$ ，将函数 $f(x)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到函数 $g(x)$ 的图像，若 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $g(x)=a$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 内的两根，则 $\sin \left(2x_1+2x_2\right)=()$ 。 A. $\frac{3}{5}$ B. $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C. $-\frac{\sqrt{10}}{10}$ D. $-\frac{3}{5}$

下面我们探讨对称中心问题，也就是本节另外一个核心问题：

问题 2

若正、余弦函数 $f(x)$ 满足 $f(a)=-f(b)$ ，则 $\left(\frac{a+b}{2},0\right)$ 何时是 $f(x)$ 的对称中心？

同样地，我们以最简单的三角函数 $f(x)=\sin x$ 的图像 (见图 1-33～图 1-36) 来直观感受一下。

图 1-33

图1-34

图1-35

图1-36

同样地，仅仅只有 $f(a)=-f(b)$ 也不足以判断 $\left(\frac{a+b}{2},0\right)$ 是 $f(x)$ 的对称中心。

结论总结 1.5

若函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )$ 满足 $f(a)=-f(b)$ ，则 $\left(\frac{a+b}{2},0\right)$ 是 $f(x)$ 的对称中心 $⟺f^{\prime }(a)f^{\prime }(b)⩾0$ 。

例 1.74

(2014 北京理 14) 设函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )(A>0,\omega >0)$ ，若 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right]$ 上具有单调性，且 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=-f\left(\frac{\pi }{6}\right)$ ，则 $f(x)$ 的最小正周期为 ____。

查看解析与步骤

首先，因为 $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调，所以 $T⩾2\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{2\pi }{3}$ 。然后，因为 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=f\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ ，且 $\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}<T$ ，所以 $x=\frac{1}{2}\left(\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{7\pi }{12}$ 为它的一条对称轴。再然后，因为 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-f\left(\frac{\pi }{6}\right)$ ，且 $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right]$ 上具有单调性，故 $f(x)$ 的一个对称中心的横坐标为 $x=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{3}$ 。最后，因为 $\frac{7\pi }{12}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}<\frac{T}{2}$ ，所以中心对称点 $\left(\frac{\pi }{3},0\right)$ 与对称轴 $x=\frac{7\pi }{12}$ 相邻，于是 $f(x)$ 的最小正周期为 $T=4\left(\frac{7\pi }{12}-\frac{\pi }{3}\right)=\pi$ ，故填 $\pi$ 。

能否由 $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=-f\left(\frac{\pi }{6}\right)$ 得到另一个对称中心的横坐标为 $x=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}\right)$ 呢？

答案是否定的！因为通过解析我们知道 $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{12}\right]$ 上单调，且关于 $x=\frac{7\pi }{12}$ 对称，而 $\frac{2\pi }{3}$ 恰好在 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{12}\right]$ 关于 $x=\frac{7\pi }{12}$ 对称的区间上，所以 $\frac{\pi }{6}$ 和 $\frac{2\pi }{3}$ 所在的区间单调性相反。故根据结论总结1.5我们可知这个答案是错的。

变式 1.74.1

（2022 湖南模考-多选题）已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )(\omega >0,\phi \in \mathbb{R})$ 在区间 $\left(\frac{7\pi }{12},\frac{5\pi }{6}\right)$ 上单调，且满足 $f\left(\frac{7\pi }{12}\right)=-f\left(\frac{3\pi }{4}\right)$ ，则下列结论正确的是（）。 A. $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=0$ B. 若 $f\left(\frac{5\pi }{6}-x\right)=f(x)$ ，则函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$ C. 关于 $x$ 的方程 $f(x)=1$ 在区间 $[0,2\pi )$ 上最多有 4 个不相等的实数解 D. 若函数 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{2\pi }{3},\frac{13\pi }{6}\right)$ 上恰有 5 个零点，则 $\omega$ 的取值范围为 $\left(\frac{8}{3},3\right]$

变式 1.74.2

（2022 上海模拟）已知函数 $f(x)=\sin x+a\cos x$ 满足 $f(x)⩽f\left(\frac{\pi }{6}\right)$ ，若 $f(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 上单调，且 $f(x_1)+f(x_2)=0$ ，则 $|x_1+x_2|$ 的最小值为（）。 A. $\frac{\pi }{6}$ B. $\frac{\pi }{3}$ C. $\frac{2\pi }{3}$ D. $\frac{4\pi }{3}$