1.3.4 最值

在高考中，涉及三角函数的最值问题通常以如下三种形式出现:

(1) 函数可以最终化简成一角一函数的形式，比如 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ .

(2) 函数可以最终化简成一角一函数的复合函数形式，尤其是三角函数与二次函数的复合，比如 $y=a{\sin }^{2}x+b\sin x+c$ .

(3) 如果无法写成 (1) 或 (2) 的形式，则考虑导数法．

例 1.41

【例1.41】（2020 上海 18 改编）已知函数 $f(x)=\sin x,g(x)=f^2(x)+\sqrt{3}f(-x)f\left(\frac{\pi }{2}-x\right),x\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ ，则 $g(x)$ 的值域为 ____.

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【解析】 因为 $f(x)=\sin x$ ，所以

l g (x) = f ^ 2 (x) + sqrt 3 f (- x) f (frac π2 - x) = sin^ 2 x + sqrt 3 sin (- x) sin (frac π2 - x) = frac 1 - cos 2 x2 - frac sqrt 32 sin 2 x = - frac sqrt 32 sin 2 x - frac 12 cos 2 x + frac 12 = - sin (2 x + frac π6) + frac 12.$$\begin{array}{l}g(x)=f^2(x)+\sqrt{3}f(-x)f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)={\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin (-x)\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\\ =\frac{1-\cos 2x}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\\ =-\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}.\end{array}$$

令 $u=2x+\frac{\pi }{6}$，因为 $x\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，所以 $u\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]$，函数 $h(u)=\sin u$ 在 $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递增，在 $\left[\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3}\right]$ 上单调递减，所以 $h(u{)}_{\max }=h\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$．又因为 $h\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ , $h\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $h(u{)}_{\min }=\frac{1}{2}$，可得 $h(u)=\sin u\in \left[\frac{1}{2},1\right]$，于是有 $-\frac{1}{2}⩽-\sin u+\frac{1}{2}⩽0$，所以函数 $g(x)$ 的值域为 $\left[-\frac{1}{2},0\right]$，故填 $\left[-\frac{1}{2},0\right]$ .

方法总结 1.2

【方法总结1.2】求 $f(x)=A\sin (\omega x+\phi )+B$ 最值或值域的解题方法：

(1) 若 $x\in \mathbb{R}$，则 $f(x{)}_{\max }=|A|+B$ , $f(x{)}_{\min }=-|A|+B$ .

(2) 若 $x\in [a,b]$，令 $z=\omega x+\phi$，则可以通过求 $\sin z$ 的最值来求 $f(x)$ 的最值．

例 1.42

【例1.42】(2019 全国 $I$ 文 15) 函数 $f(x)=\sin \left(2x+\frac{3\pi }{2}\right)-3\cos x$ 的最小值为 ____.

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【解析】 $f(x)=\sin \left(2x+\frac{3\pi }{2}\right)-3\cos x=-\cos 2x-3\cos x=-2{\cos }^{2}x-3\cos x+1.$

令 $t=\cos x$ ，则 $g(t)=-2t^2-3t+1,t\in [-1,1]$ ，因为 $g(t)$ 在 $\left[-1,-\frac{3}{4}\right]$ 上单调递增，在 $\left[-\frac{3}{4},1\right]$ 上单调递减，所以 $f(x{)}_{\min }=\min \{g(-1),g(1)\}=\min \{2,-4\}=-4$ ，故填-4.

【注】如果函数解析式中含有 $\sin x$ 和 $\cos 2x$ 或 $\cos x$ 和 $\cos 2x$，那么一般利用倍角公式将其转化为关于 $\sin x$ 或 $\cos x$ 的二次函数．

我们在三角恒等变换那里介绍了恒等式 $(\sin \alpha \pm \cos \alpha {)}^2=1\pm 2\sin \alpha \cos \alpha$ ，根据这个恒等式，如果函数中同时出现 $\sin \alpha \pm \cos \alpha$ 和 $\sin \alpha \cos \alpha$ 时，那么就可以构造二次函数，请看下面例题：

例 1.43

【例1.43】 函数 $y=\sin x-\cos x+\sin x\cos x$ 的值域为 ____.

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【解析】令 $t=\sin x-\cos x$ ，则 $-\sqrt{2}⩽t⩽\sqrt{2}$ ，于是 $t^2=(\sin x-\cos x{)}^2=1-2\sin x\cos x$ ，因此 $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$ ，故 $y=-\frac{t^2}{2}+t+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(t-1{)}^2+1$ 。当 $t=1$ 时， $f(x{)}_{\max }=1$ ；当 $t=-\sqrt{2}$ 时， $f(x{)}_{\min }=-\frac{1}{2}-\sqrt{2}$ ，所以函数的值域为 $\left[-\frac{1}{2}-\sqrt{2},1\right]$ ，故填 $\left[-\frac{1}{2}-\sqrt{2},1\right]$ 。

以上例子整体来说是比较简单的，主要都是单变量问题，如果是多个变量，那么你还会觉得这类题型简单吗? 见下面例题:

例 1.44

【例1.44】已知 $\cos x+\sin y=\frac{1}{3}$ ，求 ${\sin }^{2}x-\sin y$ 的取值范围．

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【解析】由 $\cos x+\sin y=\frac{1}{3}$ 得 $\sin y=\frac{1}{3}-\cos x,$ 则

u = sin^ 2 x - sin y = 1 - cos^ 2 x + cos x - frac 13 = - (cos x - frac 12) ^ 2 + frac 1 11 2.$$u={\sin }^{2}x-\sin y=1-{\cos }^{2}x+\cos x-\frac{1}{3}=-{\left(\cos x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{11}{12}.$$

由 $x,y$ 的任意性可知 $\cos x\in [-1,1]$ , $\sin y\in [-1,1]$，即 $\frac{1}{3}-\cos x\in [-1,1]$，所以 $\cos x\in \left[-\frac{2}{3},1\right]$ .

令 $t=\cos x\in \left[-\frac{2}{3},1\right]$ ，则 $u=-{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{11}{12}.$ 显然 $u$ 在 $\left[-\frac{2}{3},\frac{1}{2}\right]$ 上单调递增，在 $\left[\frac{1}{2},1\right]$ 上单调递减，于是 $u_{\max }=u\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{12},u_{\min }=\min \left\{u\left(-\frac{2}{3}\right),u(1)\right\}=-\frac{4}{9}.$ 故 ${\sin }^{2}x-\sin y$ 的取值范围为 $\left[-\frac{4}{9},\frac{11}{12}\right].$

【注】本例特别需要注意的就是多变量化为单变量的时候，注意消去的变量本身是有范围限制的，这是出错率高的地方．

变式 1.44.1

【变式1.44.1】(2005 全国 $I$ 理 7) 当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，函数 $f(x)=\frac{1+\cos 2x+8{\sin }^{2}x}{\sin 2x}$ 的最小值为 ( ). A. 2 B. $2\sqrt{3}$ C. 4 D. $4\sqrt{2}$

变式 1.44.2

【变式1.44.2】 若 ${\cos }^2\theta +2m\sin \theta -2m-2<0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

如果函数不能化简为一角一函数的形式或某个三角函数的复合函数的形式，则不能用之前的方法来处理．但不要忘了，我们还有求最值的 “核武器”——导数．

例 1.45

【例1.45】(2018 全国 $I$ 理 16) 已知函数 $f(x)=2\sin x+\sin 2x$ ，则 $f(x)$ 的最小值是 ____.

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【解析】求导可得 $f^{\prime }(x)=2\cos x+2\cos 2x=4{\cos }^{2}x+2\cos x-2=4(\cos x+1)\left(\cos x-\frac{1}{2}\right)$

(1) 当 $-1<\cos x<\frac{1}{2}$，即 $2k\pi -\frac{5\pi }{3}<x<2k\pi -\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，所以 $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left(2k\pi -\frac{5\pi }{3},2k\pi -\frac{\pi }{3}\right)(k\in \mathbb{Z})$ .

(2) 当 $\frac{1}{2}<\cos x<1$，即 $2k\pi -\frac{\pi }{3}<x<2k\pi +\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(2k\pi -\frac{\pi }{3},2k\pi +\frac{\pi }{3}\right)(k\in \mathbb{Z})$ .

由(1)与(2)可知，$f(x)$ 的最小值为 $f\left(2k\pi -\frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(2k\pi -\frac{\pi }{3}\right)+\sin 2\left(2k\pi -\frac{\pi }{3}\right)=-2\sin \frac{\pi }{3}-\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ，故填 $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$ .

变式 1.45.1

【变式1.45.1】(2022 全国乙文 11) 函数 $f(x)=\cos x+(x+1)\sin x+1$ 在区间 $[0,2\pi ]$ 的最小值、最大值分别为（）.

A. $-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}$ B. $-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}$ C. $-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}+2$ D. $-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2}+2$