1.1.4 二倍角公式

将两角和公式 (知识点1.3) 中的 $\beta$ 换成 $\alpha$，我们可以得到如下公式:

知识点 1.4

r l & & [ l sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = { l cos^ 2 α - sin^ 2 α 2 cos^ 2 α - 1 1 - 2 sin^ 2 α . tan 2 α = frac 2 tan α1 - tan^ 2 α ] xrightarrow [ l sin α cos α = frac 12 sin 2 α cos^ 2 α - sin^ 2 α = cos 2 α cos^ 2 α = frac 12 (1 + cos 2 α) sin^ 2 α = frac 12 (1 - cos 2 α) ] &$$\begin{array}{rl}& \\ & \left[\begin{array}{l}\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \\ \cos 2\alpha =\{\begin{array}{l}{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \\ 2{\cos }^2\alpha -1\\ 1-2{\sin }^2\alpha \end{array}\\ \tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{l}\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{2}\sin 2\alpha \\ {\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =\cos 2\alpha \\ {\cos }^2\alpha =\frac{1}{2}(1+\cos 2\alpha )\\ {\sin }^2\alpha =\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha )\end{array}\right]\\ & \end{array}$$

尽管二倍角公式都可以通过两角和公式推导得出，但如果每次都现场推导，一方面会浪费时间，另一方面也不利于解题的流畅性，可能会丧失对代数变形的直觉感受，这是致命的．因此，以下这三组公式必须牢记:

sin 2 α = 2 sin α cos α , cos 2 α = cos^ 2 α - sin^ 2 α , tan 2 α = frac 2 tan α1 - tan^ 2 α.$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ,\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha ,\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }.$$

其余的公式只要利用 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ 和平方和关系 ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ 就可以轻松推导．对于知识点1.4中的二倍角公式和降幂公式，我们强调两点:

(1) 两组公式的关键词是“二倍”，如果题目中的角存在二倍关系，比如 $2\alpha$ 和 $\alpha ,4\alpha$ 和 $2\alpha ,\alpha$ 和 $\frac{\alpha }{2}$ 等，那么大概率要用到二倍角或降幂公式．

(2) 如果求半角正弦或余弦，那么考虑用降幂公式．如果求倍角三角函数，那么考虑用二倍角公式．

例 1.11

(2023 新高考 II 7) 已知 $\alpha$ 为锐角，$\cos \alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，则 $\sin \frac{\alpha }{2}=()$ .

A. $\frac{3-\sqrt{5}}{8}$ B. $\frac{-1+\sqrt{5}}{8}$ C. $\frac{3-\sqrt{5}}{4}$ D. $\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$

查看解析与步骤

因为 $\alpha$ 是 $\frac{\alpha }{2}$ 的二倍，且求半角 $\frac{\alpha }{2}$ 的正弦，所以考虑用降幂公式．

由降幂公式得 ${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{8}=\frac{6-2\sqrt{5}}{16}=\frac{(\sqrt{5}-1{)}^2}{16}$，因为 $\alpha$ 为锐角，所以 $\sin \frac{\alpha }{2}>0$，因此 $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$，故选 $D$.

例1.11中已知角和所求角的二倍关系还是非常明显的，我们可以直接用降幂公式求值，但对有些题，虽然二倍关系明显，也不是直接代二倍角公式就能求出值来的，我们还需要有一定的知识积累，比如下面例题就用到了我们前面讲过的 “知一求二”.

变式 1.11.1

(2025 新高考 II 8) 已知 $0<\alpha <\pi ,\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，则 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=()$ .

A. $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B. $\frac{\sqrt{2}}{5}$ C. $\frac{3\sqrt{2}}{10}$ D. $\frac{7\sqrt{2}}{10}$

例 1.12

(2012 全国理 7) 已知 $\alpha$ 为第二象限角，$\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$，则 $\cos 2\alpha =()$ .

A. $-\frac{\sqrt{5}}{3}$ B. $-\frac{\sqrt{5}}{9}$ C. $\frac{\sqrt{5}}{9}$ D. $\frac{\sqrt{5}}{3}$

思路分析

由于 $2\alpha$ 是 $\alpha$ 的二倍，则本题一定会用到二倍角公式，又因为 $\sin \alpha \pm \cos \alpha$ , $\sin \alpha \cos \alpha$ 可以知一求二，故这里我们有两种处理方法．

方法一：由 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ 求出 $\sin 2\alpha$ ，再通过平方关系求出 $\cos 2\alpha$

方法二：由 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ 求出 $\cos \alpha -\sin \alpha$ ，从而求出 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =(\cos \alpha -$ $\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha ).$

解析1

由 $\alpha$ 为第二象限角，不妨取 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，则 $\pi <2\alpha <2\pi$，对 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ 两边平方可得 $1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{3}$，从而 $\sin 2\alpha =-\frac{2}{3}$．当 $2\alpha \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 时，$\cos 2\alpha <0$ ; 当 $2\alpha \in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ 时，$\cos 2\alpha >0$．也就是说 $\cos 2\alpha$ 有两个值，这必然是产生了增根，原因是由条件可知 $\alpha$ 的值是唯一确定的，因此我们需要进一步缩小 $\alpha$ 的范围．由 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}>0$，可知 $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$，故 $\pi <2\alpha <\frac{3}{2}\pi$，则 $\cos 2\alpha =-\sqrt{1-{\sin }^{2}2\alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{3}$，故选 $A$.

解析2

将 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ 两边平方可得 $1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{3}$，解得 $2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{2}{3}<0$．因为 $\alpha$ 为第二象限角，所以 $\sin \alpha >0$ , $\cos \alpha <0$，则 $\cos \alpha -\sin \alpha <0$．由 $(\cos \alpha -\sin \alpha {)}^2=1-2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{5}{3}$，可得 $\cos \alpha -\sin \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{3}$，则 $\cos 2\alpha =(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )=-\frac{\sqrt{5}}{3}$，故选$A$.

变式 1.12.1

(2022 四川资阳一模) 已知 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{5},0<\alpha <\pi ,$ 则 $\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=$ ( ).

A. $-\frac{31\sqrt{2}}{50}$ B. $-\frac{17\sqrt{2}}{50}$ C. $\frac{17\sqrt{2}}{50}$ D. $\frac{31\sqrt{2}}{50}$

例1.12 中，题目中的两个角 $2\alpha$ 和 $\alpha$ 存在二倍关系，故一定会用到二倍角．还有一种情况是已知角和所求角不存在二倍关系，这时我们可以考虑引入一个与已知角或所求角存在二倍关系的中间角，然后通过中间角尝试建立所求角和已知角的联系．

例 1.13

(2023 新高考 I 8) 已知 $\sin (\alpha -\beta )=\frac{1}{3}$ , $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{6}$，则 $\cos (2\alpha +2\beta )=()$ .

A. $\frac{7}{9}$ B. $\frac{1}{9}$ C. $-\frac{1}{9}$ D. $-\frac{7}{9}$

思路分析

由于 $2\alpha +2\beta$ 与条件中的 $\alpha -\beta ,\alpha$ 和 $\beta$ 都不存在二倍关系，我们不能直接用二倍角公式，但 $2\alpha +2\beta$ 是 $\alpha +\beta$ 的二倍，而通过已知很容易求出 $\alpha +\beta$ 的正弦值，再用二倍角公式就可以求出 $\cos (2\alpha +2\beta )$ .

查看解析与步骤

因为 $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha =\frac{1}{3},\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{6}$ ，所以 $\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}$ ，于是 $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$ ，则 $\cos (2\alpha +2\beta )=1-2{\sin }^2(\alpha +\beta )=1-2\times \frac{4}{9}=\frac{1}{9},$ 故选$B$.

变式 1.13.1

(2021 全国甲理 9) 若 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ , $\tan 2\alpha =\frac{\cos \alpha }{2-\sin \alpha }$，则 $\tan \alpha =()$ .

A. $\frac{\sqrt{15}}{15}$ B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C. $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D. $\frac{\sqrt{15}}{3}$