4.4.3 圆上动点到直线距离为定值的点的个数问题

圆上点到直线 $\ell$ 距离为定值 $m$ 的个数问题是高考的热点和难点. 对于此类问题, 我们只需研究直线 $\ell$ 的两条等距线 (与 $\ell$ 的距离都为 $m$ ) 与圆的交点个数问题. 因为直线与圆的交点个数可能为 2, 1, 0, 所以圆上点到直线 $\ell$ 距离为定值 $m$ 的个数可能为 4, 3, 2, 1, 0.

下面我们依次来讨论每种情形的等价条件, 核心方法都一致. 首先, 我们找到与直线 $\ell$ 平行的两条切线以及它们与 $\ell$ 之间的距离. 然后, 根据点的个数来确定直线 $\ell$ 的两条等距线的位置.

(1) 若圆上有 4 个点到定直线的距离为定值 $m$ , 则 $\ell$ 与圆必相交且与它间距为 $m$ 的两条直线都与圆相交, 如图 4-30 所示, 这等价于 $\{\begin{array}{l}m<r+d\\ m<r-d\end{array}$ , 即等价于 $r>d+m$ .

(2) 若圆上恰有 3 个点到定直线的距离为定值 $m$ , 则 $\ell$ 与圆必相交且它的两条间距为 $m$ 的直线, 一条与圆相交, 另一条与圆相切, 如图 4-31 所示. 因此它等价于 $\{\begin{array}{l}m=r-d\\ m<r+d\end{array}$ , 即此时等价于 $r=d+m$ .

(3) 若圆上恰有 2 个点到定直线的距离为定值 $m$ , 这种情形比较复杂, 我们需要分类讨论.

① 若 $\ell$ 与圆相离, 则与 $\ell$ 间距为 $m$ 的两条直线中, 有一条与圆必相离. 又因为圆上恰有 2 个点到定直线的距离为 $m$ , 所以另外一条直线与圆相交, 如图 4-32 所示, 这等价于 $0<d-r<m<d+r$ .

图4-30

图4-31

② 若 $\ell$ 与圆相切, 跟上面一模一样地讨论, 如图 4-33所示, 故 $0<m<2r$ , 因为 $d=r$ , 故又可写成 $d-r<m<d+r$ .

③若 $\ell$ 与圆相交, 则与 $\ell$ 间距为 $m$ 的两条直线中, 一条与圆相交, 另一条与圆相离, 如图 4-34所示, 故 $0<r-d<m<r+d$ .

观察①②③, 发现它们可以统一成 $|r-d|<m<r+d$ , 等价于

$$\{\begin{array}{l}-m<r-d<m\\ m<r+d\end{array}⟹\{\begin{array}{l}d-m<r<m+d\\ r>m-d\end{array}⟹|d-m|<r<d+m.$$

图4-32

图4-33

图4-34

(4) 若圆上恰有 1 个点到定直线的距离为定值 $m$ , 跟情形 (3) 类似地讨论可得 $m=d-r$ 或 $m=d+r$ , 即 $r=d-m$ 或 $r=m-d$ , 可以统一为 $r=|d-m|$ , 细节请同学们自己补充.

(5) 若圆上不存在点到定直线的距离为定值 $m$ , 跟情形 (3) 类似地讨论可得 $m<d-r$ 或 $m>d+r$ , 即 $r<d-m$ 或 $r<m-d$ , 可以统一为 $r<|d-m|$ , 细节也请同学们自己补充.

将上述的讨论总结如下:

结论总结 4.3

设圆的半径为 $r$，圆心到直线的距离为 $d(d>0)$ .

(1) 圆上有 4 个点到定直线的距离为定值 $m⟺r>d+m$ .

(2) 圆上恰有 3 个点到定直线的距离为定值 $m⟺r=d+m$ .

(3) 圆上恰有 2 个点到定直线的距离为定值 $m⟺|d-m|<r<d+m$ .

(4) 圆上恰有 1 个点到定直线的距离为定值 $m⟺r=|d-m|$ .

(5) 圆上不存在点到定直线的距离为定值 $m⟺r<|d-m|$ .