4.4.2 圆上动点到定直线的最值问题

在上一小节, 我们学习了求定点与圆上动点的距离的最值. 同样地, 我们也可以类似地求解圆上动点到定直线的距离的最值. 核心思想是一样的, 即将问题转化为求圆心到直线的距离.

知识点 4.26

已知直线 $\ell$ 和圆 $C$ , 若圆心到直线 $\ell$ 的距离为 $d$ , 圆 $C$ 的半径为 $r$ , 则: (1) 当 $\ell$ 与圆 $C$ 相离时, 圆上的点到 $\ell$ 的距离的最大值为 $d+r$ , 最小值为 $d-r$ . (2) 当 $\ell$ 与圆 $C$ 相切或相交时, 圆上的点到 $\ell$ 的距离的最大值为 $d+r$ , 最小值为 0.

例 4.54

(2018 全国Ⅲ理 6) 直线 $x+y+2=0$ 分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于 $A$, $B$ 两点，点 $P$ 在圆 $(x-2{)}^2+y^2=2$ 上，则 $△ABP$ 面积的取值范围是（）. A. [2,6] B. [4,8] C. $[\sqrt{2},3\sqrt{2}]$ D. $[2\sqrt{2},3\sqrt{2}]$

解析

由题意可知, $A(-2,0),B(0,-2),|AB|=2\sqrt{2}$ . 要求 $△ABP$ 面积的取值范围, 则只需求出点 $P$ 到直线 $x+y+2=0$ 上的距离 $d_1$ 的取值范围. 因为圆心到直线的距离 $d_2=2\sqrt{2}>r=\sqrt{2}$ , 所以直线与圆相离, 于是 $d_1\in [d_2-r,d_2+r]=[\sqrt{2},3\sqrt{2}]$ , 即 $S_{△ABP}\in [2,6]$ , 故选 $A$.

变式 4.54.1

(2023 安徽期末) 已知动直线 $\ell :kx-y-2k+2=0$ 恒过定点 $A,B$ 为圆 $C:(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=8$ 上一动点, $O$ 为坐标原点, 则 $△AOB$ 面积的最大值为

知识点 4.27

若 PC 是 $△PAB$ 的边 AB 的中线, 则 $|PA{|}^2+|PB{|}^2=2(|PC{|}^2+|CA|{)}^2$ .

例 4.55

如图 4-29 所示, 已知 AB 为圆 $C:x^2+y^2-2y=0$ 的直径, 点 $P$ 为直线 $\ell :y=x-1$ 上任意一点, 则 $|PA{|}^2+|PB{|}^2$ 的最小值为 ____.

解析

圆的标准方程为 $x^2+(y-1{)}^2=1$ ，由知识点4.27可得 $|PA{|}^2+|PB{|}^2=2(|PC{|}^2+|AC{|}^2)=2|PC{|}^2+2.$ 因此原问题等价于求 $|PC|$ 的最小值.因为圆心到直线 $\ell$ 的距离 $d=\frac{|0-1-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ ，所以 $|PC{|}_{\min }=\sqrt{2}$ 即 $|PA{|}^2+|PB{|}^2$ 的最小值为 $2\times (\sqrt{2}{)}^2+2=6$ ，故填6.

图4-29