4.3.5 圆幂定理

接下来介绍圆的另外一个性质——圆幂定理, 这个性质不少读者并不熟悉. 这类题在解析几何中考查的难度不会小 (尤其是在圆锥曲线中考查圆幂定理, 例如四点共圆情形). 圆幂定理又分为三个定理, 分别是相交弦定理、切割线定理和割线定理, 总结如下:

结论总结 4.2

（1）相交弦定理：如图 4-14 所示，过圆内一点 $M$ 作两条弦，分别交圆于点 $A$, $B$, $C$, $D$，则 $\left|MA\right|\cdot \left|MB\right|=\left|MC\right|\cdot \left|MD\right|$ .

(2) 切割线定理: 如图 4-15 所示, 从圆外一点 $M$ 作圆的一条割线, 交圆于 $A,B$ , 再作 $MN$ 切圆于点 $N$ , 则 $|MN{|}^2=|MA|\cdot |MB|$ .

(3) 割线定理: 如图 4-16 所示, 从圆外一点 $M$ 作圆的两条割线, 分别交圆于点 $A,B,C,D$ , 则 $|MA|\cdot |MB|=|MC|\cdot |MD|$ .

图4-14

图4-15

图4-16

例 4.46

(2015 天津理 5) 如图 4-17 所示, 在圆 $O$ 中, $M$, $N$ 是弦 AB 的三等分点, 弦 CD, CE 分别经过点 $M$, $N$, 若 CM = 2, MD = 4, CN = 3, 则线段 NE 的长为 ( ).

A. $\frac{8}{3}$ B. 3 C. $\frac{10}{3}$ D. $\frac{5}{2}$

图4-17

查看解析与步骤

由相交弦定理可得 $MC\cdot MD=MA\cdot MB,NC\cdot NE=NA\cdot NB,$ 又因为 $M$, $N$ 是弦 AB 的三等分点，所以 $NA\cdot NB=MA\cdot MB=MC\cdot MD,$ 从而 $NC\cdot NE=MC\cdot MD,$ 即 $NE=\frac{MC\cdot MD}{NC}=\frac{8}{3}.$ 故选 $A$.

变式 4.46.1

过点 $P(-4,4)$ 作直线 $\ell$ 与圆 $C:(x-1{)}^2+y^2=25$ 交于 $A$, $B$ 两点, 若 $|PA|=2$ , 则圆心 $C$ 到直线 $\ell$ 的距离为 ( ) . A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

圆幂定理的应用是非常广泛的, 下面再来看看它在仰角模型中的应用.

例 4.47

如图 4-18 所示, 在平面直角坐标系中, 在 $y$ 轴的正半轴 (坐标原点除外) 上给定两点 $A$, $B$, 试在 $x$ 轴的正半轴 (坐标原点除外) 上找一点 $C$, 使得 $\angle ACB$ 取得最大值.

查看解析与步骤

如图 4-19所示, 设点 $A(0,a),B(0,b),C(x,0)$ , 过 $A,B,C$ 三点确定圆 $E$ . 作弦 $AB$ 所对的圆心角 $\angle AEB=2\angle ACB$ . 取 $AB$ 中点 $D$ , 连接 $DE$ , 则 $\angle AEB=2\angle AED$ , 于是 $\angle AED=\angle ACB$ . 又因为 $\sin \angle AED=\frac{|AD|}{|AE|}=\frac{|AD|}{|EC|}$ , 所以 $|EC|$ 越小, $\angle AED$ 越大, 而当 $EC\perp x$ 轴时, $|EC|$ 最小, 此时 $\angle ACB$ 最大, 圆与 $x$ 为切点, 如图 4-20所示. 由切割线定理有 $C$ 为切点, 如图4-20所示. 由切割线定理有 $|OC{|}^2=|OA|\cdot |OB|$ , 即 $x^2=ab$ , 解得 $x=\sqrt{ab}$ . 故切点 $C$ 的坐标为 $(\sqrt{ab},0)$ .

图4-18

图4-19

图4-20

方法总结 4.3

给定平面上两定点 $A$, $B$, 求直线 $\ell$ 上的一点 $C$, 使得 $\angle ACB$ 取得最大值. 这类模型可以转化为 “以 AB 为定弦的圆与直线 $\ell$ 有交点, 求点 $C$ 与弦 AB 的张角的最大值, 即圆与直线 $\ell$ 相切时 $\angle ACB$ 取得最大值”.