4.3.1 点与圆的位置关系

由两点间的距离公式, 很容易得到点和圆的位置关系判断方法, 内容如下所示:

知识点 4.15

点 $P(x_0,y_0)$ 与圆 $C:(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 的位置关系： (1) 当 $(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2>r^2$ 时，点 $P$ 在圆 $C$ 外； (2) 当 $(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2=r^2$ 时，点 $P$ 在圆 $C$ 上； (3) 当 $(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2<r^2$ 时，点 $P$ 在圆 $C$ 内.

例 4.33

(2023 安徽模拟) 若点 $(2a,a+1)$ 在圆 $x^2+(y-1{)}^2=5$ 的内部，则实数 $a$ 的取值范围是（）.

A. $(-1,1)$ B. $(0,1)$ C. $\left(-1,\frac{1}{5}\right)$ D. $\left(-\frac{1}{5},1\right)$

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由题意可知 $(2a{)}^2+[(a+1)-1{]}^2<5$ ，解得 $-1<a<1$ ，故选$A$.

知识点 4.16

直线 $\ell$ 过定点 $P$ 且点 $P$ 在圆 $C$ 内, 则 $\ell$ 与圆必相交.

例 4.34

(2021 山东模拟) 已知动直线 $\ell$ 的方程为 $(m+1)x+(m-1)y+2m=0$ ，圆 $O:x^2+y^2=3$ ，则直线 $\ell$ 与圆 $O$ 的位置关系是（）.

A. 相交    $B$. 相切    $C$. 相离    $D$. 无法确定

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直线 $\ell$ 的方程可化为 $m(x+y+2)+x-y=0$ ，由 $\{\begin{array}{l}x+y+2=0\\ x-y=0\end{array}$ ，得 $\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-1\end{array}$ ，所以直线 $\ell$ 过定点 $(-1,-1)$ ，又 $(-1{)}^2+(-1{)}^2=2<3$ ，即定点 $(-1,-1)$ 在圆 $O:x^2+y^2=3$ 内，所以直线 $\ell$ 与圆 $O$ 的位置关系是相交，故选 $A$.

变式 4.34.1

设 $m\in R$ ，则直线 $\ell :mx+y-m-1=0$ 与圆 $x^2+y^2=2$ 的位置关系为（）. A. 相离    $B$. 相切    $C$. 相交或相切    $D$. 相交

知识点 4.17

(1) 若点 $P$ 在圆 $C$ 外, 则过 $P$ 可以作 $C$ 两条切线;

(2) 若点 $P$ 在圆 $C$ 上, 则过 $P$ 可以作 $C$ 一条切线.

例 4.35

(2023 山东期中) 过点 $P(2,1)$ 作圆 $C:x^2+y^2-ax+2ay+2a+1=0$ 的切线有两条, 则 $a$ 的取值范围为 ____.

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方程 $x^2+y^2-ax+2ay+2a+1=0$ 表示圆，则 $a^2+4a^2-4(2a+1)>0$ ，解得 $a<-\frac{2}{5}$ 或 a>2。因为过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线有两条，所以点 $P(2,1)$ 在圆 $C$ 外，从而 $2^2+1^2-2a+2a+2a+1>0$ ，解得 a>-3。又因为 $a<-\frac{2}{5}$ 或 a>2，所以 $-3<a<-\frac{2}{5}$ 或 a>2，故填 $\left(-3,-\frac{2}{5}\right)\cup (2,+\infty )$ 。

变式 4.35.1

（2022 云南模拟）已知过点 $P(2,1)$ 有且仅有一条直线与圆 $C:x^2+y^2+2ax+ay+2a^2+a-1=0$ 相切，则 $a=()$ . A. -1    B. -2    C. 1 或 2    D. -1 或 -2