3. 数量积圆

我们知道 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$ , 且 $A,B$ 是定点, 则 $P$ 的轨迹是以 $AB$ 为直径的圆, 现在的问题是如果 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\lambda$ , 那么点 $P$ 的轨迹还是圆吗? 请看下面的例题:

例 4.26

(2020 全国Ⅲ文 6) 在平面内, $A$, $B$ 是两个定点, $C$ 是动点. 若 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=1$ , 则点 $C$ 的轨迹为 ( ). A. 圆 $B$. 椭圆 $C$. 抛物线 $D$. 直线

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设线段 $AB$ 的中点为 $O$ , 长为 $2a(a>0)$ , 以点 $O$ 为原点, 线段 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系, 则 $A(-a,0),B(a,0)$ . 设点 $C$ 的坐标为 $(x,y)$ , 则 $\overrightarrow{AC}=(x+a,y),\overrightarrow{BC}=(x-a,y)$ , 由 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=1$ 得 $(x+a)(x-a)+y^2=1$ , 化简可得 $x^2+y^2=1+a^2$ , 所以点 $C$ 的轨迹为以 $O$ 为圆心, $\sqrt{1+a^2}$ 为半径的圆, 故选 $A$.

类比例4.26, 设 $A$, $B$ 为定点, 长为 $2a(a>0)$ , 以 AB 的中点为原点, AB 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系, 若 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=\lambda$ , 则 $C(x,y)$ 的轨迹方程为 $x^2+y^2=\lambda +a^2$ . 故

(1) 当 $\lambda +a^2>0$ 时, $C$ 的轨迹是圆;

(2) 当 $\lambda +a^2=0$ 时, $C$ 的轨迹是点;

(3) 当 $\lambda +a^2<0,C$ 的轨迹不存在.

变式 4.26.1

在平面直角坐标系中, $A(-12,0)$ , $B(0,6)$ , 点 $P$ 在圆 $O:x^2+y^2=50$ 上. 若 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}⩽20$ , 则点 $P$ 的横坐标的取值范围是 ____.