2. 定边对定角

知识点 4.11

在平面直角坐标系中, 已知 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ , 则以线段 AB 为直径的圆的轨迹方程为 $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ .

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设圆上任一点 $P(x,y)$ ，因为直径所对的圆周角为直角，所以 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$ ，故 $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ .

例 4.23

(2018 江苏) 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, $A$ 为直线 $\ell :y=2x$ 上在第一象限内的点, $B(5,0)$ , 以 $A,B$ 为直径的圆 $C$ 与直线 $\ell$ 交于另一点 $D$ . 若 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0$ , 则点 $A$ 的横坐标为 ____.

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设 $A(a,2a)(a>0)$ , $B(5,0)$ , 因为圆 $C$ 的直径为 $AB$ , 所以 $C$ 的坐标为 $\left(\frac{a+5}{2},a\right)$ 且圆的方程为 $(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0$ . 将 $y=2x$ 代入圆 $C$ 的方程, 得 $x^2-(a+1)x+a=0$ , 解得 $x=a$ 或 $x=1$ , 故 $D(1,2)$ . 又因为 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0$ , 所以 $(5-a)\left(1-\frac{a+5}{2}\right)+(0-2a)(2-a)=0$ , 解得 $a=3$ , 故填3.

直径圆的关键特征有两点: 一是有两个定点; 二是有垂直. 如果将这两个特征都隐藏起来, 那么能否把它们找出来, 才是解题的关键.

例 4.24

(2014 四川文 9) 设 $m\in R$ ，过定点 $A$ 的动直线 $x+my=0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $mx-y-m+3=0$ 交于点 $P(x,y)$ ，则 $|PA|+|PB|$ 的取值范围是（）. A. $\left[\sqrt{5},2\sqrt{5}\right]$ B. $\left[\sqrt{10},2\sqrt{5}\right]$ C. $\left[\sqrt{10},4\sqrt{5}\right]$ D. $\left[2\sqrt{5},4\sqrt{5}\right]$

$$|PA|+|PB|=|AB|\sin \alpha +|AB|\cos \alpha =2\sqrt{5}\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right).$$

图4-4

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根据题意可知点 $A(0,0),B(1,3)$ . 又因为 $1\cdot m+m\cdot (-1)=0$ , 所以两条直线互相垂直, 即 $AP\perp PB$ , 则 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=0$ , 可得 $x(x-1)+y(y-3)=0$ , 化简得 ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{5}{2}$ . 如图 4-4所示, 令 $\angle PBA=\alpha \left(0⩽\alpha ⩽\frac{\pi }{2}\right)$ , 则

$$|PA|+|PB|=|AB|\sin \alpha +|AB|\cos \alpha =2\sqrt{5}\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right).$$

图4-4

由 $0⩽\alpha ⩽\frac{\pi }{2}$ , 得 $\alpha +\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right]$ , 即 $|PA|+|PB|=2\sqrt{5}\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\in [\sqrt{10},2\sqrt{5}]$ , 故选 $B$.

变式 4.24.1

在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 ${\ell }_1:kx-y+2=0$ 与直线 ${\ell }_2:x+ky-2=0$ 相交于点 $P$, 求点 $P$ 的轨迹方程.

在 $△APB$ 中, 已知边 $AB$ 及边 $AB$ 所对的角 $\angle APB$ , 求 $△APB$ 的外接圆, 当 $\angle APB\ne 90^{\circ }$ 时, 由正弦定理得 $\frac{AB}{\sin \angle APB}=2R$ , 从而求出三角形外接圆的半径 $R$ .

例 4.25

(2023 河北期末) 已知 $△ABC$ 中， $BC=2\sqrt{3}$ ， $A=\frac{\pi }{3}$ ，点 $P$ 是 $△ABC$ 外接圆圆周上的一个动点，则 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}$ 取值范围是 ____.

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设 $△ABC$ 外接圆的半径为 $R$ , 因为 $BC=2\sqrt{3}$ , $A=\frac{\pi }{3}$ , 所以由正弦定理可得 $2R=\frac{|BC|}{\sin A}=4$ , 即 $R=2$ . 如图 4-5所示, 设 $BC$ 的中点为 $D$ , $△ABC$ 外接圆的圆心为 $O$ , 则 $|OD|=\sqrt{|OC{|}^2-|CD{|}^2}=\sqrt{4-3}=1$ , 以 $O$ 为原点, 平行于 $BC$ 的直线为 $x$ 轴, 建立平面直角坐标系, 则圆 $O$ 的方程为 $x^2+y^2=4$ , $B(-\sqrt{3},-1)$ , $C(\sqrt{3},-1)$ , 设 $P(2\cos \theta ,2\sin \theta )$ , 则 $\overrightarrow{PB}=(-\sqrt{3}-2\cos \theta ,-1-2\sin \theta )$ , $\overrightarrow{PC}=(\sqrt{3}-2\cos \theta ,-1-2\sin \theta )$ , 于是

图4-5

$$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}=(-\sqrt{3}-2\cos \theta )(\sqrt{3}-2\cos \theta )+(-1-2\sin \theta )(-1-2\sin \theta )\\ & =-(3-4{\cos }^2\theta )+1+4\sin \theta +4{\sin }^2\theta \\ & =4\sin \theta +2\in [-2,6].\end{array}$$

故填 $[-2,6]$ .