4.2.3 圆的几种表示

在 4.2.1 节和 4.2.2 节, 我们侧重从代数的角度研究圆的方程. 本节我们主要从几何的角度研究圆的表示形式, 以及如何从几何形式转化为代数形式.

1. 定点且定长

知识点 4.10

若 $\left|MA\right|=r$ ，其中 $M$ 是动点，$A$ 是定点，$r$ 是大于 0 的定值，则点 $M$ 的轨迹为圆，圆心是 $A$，半径为 $r$.

例 4.21

已知等腰三角形的一个顶点 A(4,2)，底边的一个端点 B(3,5)，求底边另一个端点 $C$ 的轨迹方程，并说明它是什么图形.

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根据题意可知 $|AB|=|AC|$ ，因为 $A(4,2),B(3,5)$ ，所以 $|AB|=\sqrt{10}$ ，则 $|AC|=\sqrt{10}$ ，如图 4-3所示。根据圆的定义可知顶点 $C$ 在以 $A$ 为圆心，以 $\sqrt{10}$ 为半径的圆上，又点 $A,B,C$ 构成三角形，则 $B,A,C$ 不能共线。设 $B$ 关于 $A$ 的对称点为 $B^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ ，所以顶点 $C$ 的轨迹要挖去 $B,B^{\prime }$ 。 $\frac{x^{\prime }+3}{2}=4,\frac{y^{\prime }+5}{2}=2$ ，解得 $x^{\prime }=5,y^{\prime }=-1$ ，故 $B^{\prime }(5,-1)$ 。设点 $C$ 的坐标为 $(x,y)$ ，则 $C$ 点的轨迹方程为 $(x-4{)}^2+(y-2{)}^2=10$ ，并且去除 $(3,5),(5,-1)$ 两点。

图4-3

例4.21 中因为 $△ABC$ 为等腰三角形, 所以很容易得到 $|AC|$ 为定值, 但更多的题目中动点到定点的距离为定值给的比较隐晦, 需要我们进行转化才能找到.

例 4.22

长为 2a 的线段 AB 的两个端点 $A$ 和 $B$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上滑动, 求线段 AB 的中点的轨迹方程.

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设线段 AB 的中点为 $M$, 因为 $M$ 是 Rt△AOB 斜边 AB 的中点, 所以 $|OM|=\frac{1}{2}|AB|=a$ , 可知 $M$ 的轨迹是以 $(0,0)$ 为圆心, $a$ 为半径的圆, 圆的方程为 $x^2+y^2=a^2$ .

变式 4.22.1

线段 MN 的长度为 1, 端点 $M$, $N$ 在边长不小于 1 的正方形 ABCD 的四边上滑动, 当点 $M$, $N$ 沿正方形的四边滑动一周时, MN 的中点 $O$ 所形成的轨迹为 $G$, 若 $G$ 的周长为 $\ell$ , 其围成的面积为 $S$, 则 $\ell -S$ 的最大值为 ____.