4.2.1 一般方程与标准方程

知识点 4.7

(1) 标准方程: $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2(r>0)$ , 其中圆心为 $(a,b)$ , 半径为 $r$ .

(2) 一般方程: $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ , 当 $D^2+E^2-4F>0$ 时, 圆心为 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$ , 半径为 $\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}$ .

求圆的标准方程或圆的一般方程, 我们常用的手段是待定系数法. 根据圆的标准方程和一般方程的特点, 用待定系数法求圆的方程我们需要三个条件.

例 4.17

过四点 $(0,0)$ , $(4,0)$ , $(-1,1)$ , $(4,2)$ 中的三点的一个圆的方程为 ____.

查看解析与步骤

设过 $(0,0),(4,0),(-1,1)$ 三点的圆的方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ ，分别将三点坐标代入方程得

$$\{\begin{array}{l}F=0\\ 16+4D+F=0\\ 2-D+E+F=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}D=-4\\ E=-6\\ F=0\end{array}$$

易得 $D^2+E^2-4F>0$ , 所以过 $(0,0),(4,0),(-1,1)$ 三点的圆的方程为 $x^2+y^2-4x-6y=0$ .

同理, 得到过 $(0,0)$ , $(4,0)$ , $(4,2)$ 三点的圆的方程为 $x^2+y^2-4x-2y=0$ ; 过 $(0,0)$ , $(-1,1)$ , $(4,2)$ 三点的圆的方程为 $x^2+y^2-\frac{8}{3}x-\frac{14}{3}y=0$ ; 过 $(4,0)$ , $(-1,1)$ , $(4,2)$ 三点的圆的方程为 $x^2+y^2-\frac{16}{5}x-2y-\frac{16}{5}=0$ .

用待定系数法求圆的方程有时运算量过大, 此时我们可以考虑结合垂径定理及其推论求圆的方程.

知识点 4.8

(1) 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧.

(2) 垂径定理推论: ① 平分弦的直径垂直于弦; ② 弦的垂直平分线过圆心.

例 4.18

设点 $M$ 在直线 $2x+y-1=0$ 上, 点 (3,0) 和 (0,1) 均在圆 $M$ 上, 则圆 $M$ 的方程为 ____.

思路分析

由于点(3,0)和(0,1)均在圆 $M$ 上, 则圆 $M$ 的圆心必然在这两点确定的线段的垂直平分线上, 求出垂直平分线, 再与 $2x+y-1=0$ 联立, 即可求出圆心坐标, 进而求出圆的半径.

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设 $A(3,0),B(0,1)$ ，则 $AB$ 的中点 $N$ 的坐标为 $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$ ，直线 $AB$ 的斜率为 $k_{AB}=-\frac{1}{3}$ ，于是线段 $AB$ 的垂直平分线 $\ell$ 的斜率为 $k_{\ell }=3$ 。由点斜式可得直线 $\ell$ 方程为 $y-\frac{1}{2}=3\left(x-\frac{3}{2}\right)$ ，即 $y=3x-4$ 。由 $\{\begin{array}{l}y=3x-4\\ 2x+y-1=0\end{array}$ ，可得 $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}$ ，即圆心 $M$ 的坐标为 $(1,-1)$ 。设圆 $M$ 的半径为 $r$ ，则 $r^2=(3-1{)}^2+1^2=5$ ，因此圆 $M$ 的方程为 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=5$ 。故填 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=5$ 。

变式 4.18.1

（2016 浙江文 10）已知 $a\in R$ ，方程 $a^2{x}^2+(a+2)y^2+4x+8y+5a=0$ 表示圆，则圆心坐标是 ____，半径是 ____。