2. 点到线的距离

知识点 4.5

点 $P(x_0,y_0)$ 到直线 $\ell :Ax+By+C=0$ 的距离 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ .

例 4.11

(2023 河北期中) 点 $A(\cos \theta ,\sin \theta )$ 到直线 $3x+4y-4=0$ 距离的最大值为 ( )。 A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{4}{5}$ C. 1 D. $\frac{9}{5}$

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点 $A(\cos \theta ,\sin \theta )$ 到直线 $3x+4y-4=0$ 距离 $d=\frac{|3\cos \theta +4\sin \theta -4|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|5\sin (\theta +\phi )-4|}{5}$ ，其中 $\tan \phi =\frac{3}{4}$ ，故由正弦函数的性质可得，当 $\sin (\theta +\phi )=-1$ 时， $d_{\max }=\frac{9}{5}$ ，故选 $D$.

例4.11 是动点到定直线的距离, 反过来, 我们再看看定点到动直线的距离.

例 4.12

(2020 全国Ⅲ文8)点 $(0,-1)$ 到直线 $y=k(x+1)$ 距离的最大值为( ). A. 1 B. $\sqrt{2}$ C. $\sqrt{3}$ D. 2

解析1

点 $(0,-1)$ 到直线 $y=k(x+1)$ 的距离为

$$d=\frac{|1+k|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{\frac{k^2+2k+1}{k^2+1}}=\sqrt{1+\frac{2k}{k^2+1}}=\sqrt{1+\frac{2}{k+\frac{1}{k}}}.$$

因为求距离的最大值, 所以需要 $k>0$ , 由基本不等式 $k+\frac{1}{k}⩾2$ , 当且仅当 $k=\frac{1}{k}$ , 即 $k=1$ 时取等号, 得 $d⩽\sqrt{2}$ . 故选 $B$.

解析1 是我们容易想到的方法, 我们再来看将点到线的距离转化为点到垂足的距离:

解析2

由 $y=k(x+1)$ 可知直线过定点 $P(-1,0)$ ，设 $A(0,-1)$ ，当直线 $y=k(x+1)$ 与 $AP$ 垂直时，点 $A$ 到直线 $y=k(x+1)$ 的距离最大，即为

$$|AP|=\sqrt{[0-(-1{)}^2]+(-1-0{)}^2}=\sqrt{2}.$$

故选 $B$.

比较例4.12 的两种解析, 不难发现将定点到旋转动直线的距离, 转化为定点到旋转点的距离, 会使问题变得更简单. 还有一种情形, 求直线上动点与直线外定点距离的最值问题, 我们也需要转化, 请看下面的例题:

例 4.13

(2023 安徽模考) 直线 $\ell :3x-2y+5=0,P(m,n)$ 为直线 $\ell$ 上动点，则 $(m+1{)}^2+n^2$ 的最小值为（）.

A. $\frac{2\sqrt{13}}{13}$ B. $\frac{3\sqrt{13}}{13}$ C. $\frac{4}{13}$ D. $\frac{3}{13}$

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$(m+1{)}^2+n^2$ 表示直线 $\ell :3x-2y+5=0$ 上的点 $P(m,n)$ 到点 $A(-1,0)$ 距离的平方，而点 $P(m,n)$ 到点 $A(-1,0)$ 距离的最小值，即为点 $A(-1,0)$ 到直线 $\ell$ 的距离 $\frac{|3\times (-1)-2\times 0+5|}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}$ ，则 $(m+1{)}^2+n^2$ 的最小值为 $\frac{4}{13}$ ，故选 $C$.

上面三道例题是点到直线距离的最值问题的常见题型, 现总结如下:

经验总结 4.2

(1) $P(x_1,y_1)$ 是直线 $\ell$ 外定点, 直线 $\ell$ 恒过定点 $Q(x_2,y_2)$ , 则 $P$ 到直线 $\ell$ 的距离有最大值为 $|PQ|$ . (2) $P(x,y)$ 是直线 $\ell$ 上动点, $Q(x_0,y_0)$ 是直线 $\ell$ 外定点, 则 $|PQ|$ 的最小值为 $Q$ 到直线 $\ell$ 的距离.

变式 4.13.1

(2018 北京理 7) 在平面直角坐标系中, 记 $d$ 为点 $P(\cos \theta ,\sin \theta )$ 到直线 x-my-2=0 的距离, 当 $\theta ,m$ 变化时, $d$ 的最大值为 ( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

变式 4.13.2

(2023 重庆模拟) 已知 $x$, $y$ 满足 $x+y+3=0$ ，则 $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2$ 的最小值为 ____.