2. 相交与直线系

因为平面上的直线方程是用二元一次方程表示的, 故求两条直线的交点, 我们需要将两个二元一次方程联立, 解这个方程组, 比如下面的例题:

例 4.7

已知直线 $\ell$ 经过两条直线 $2x-3y+10=0$ 和 $3x+4y-2=0$ 的交点，且垂直于直线 $3x-2y+4=0$ ，则直线 $\ell$ 的方程为 ____.

解析 1

两条直线的交点为 $\{\begin{array}{rl}& 2x-3y+10=0\\ & 3x+4y-2=0\end{array}$ 的解, 解得 $\{\begin{array}{r}x=-2\\ y=2\end{array}$ , 又因为直线 $\ell$ 与直线 $3x-2y+4=0$ 垂直, 则可得 $k_{\ell }=-\frac{2}{3}$ . 根据直线的点斜式方程可得 $y-2=-\frac{2}{3}(x+2)$ , 则直线 $\ell$ 的方程为 $2x+3y-2=0$ , 故填 $2x+3y-2=0$ .

本题还可以通过直线系避免求交点, 什么叫直线系呢? 我们思考下面问题:

思考

已知 $\lambda$ 为任意实数, 当 $\lambda$ 变化时, 方程 $2x-3y+10+\lambda (3x+4y-2)=0$ 表示什么图形? 图形有何特点?

由 $\{\begin{array}{r}2x-3y+10=0\\ 3x+4y-2=0\end{array}$ ，得 $\{\begin{array}{r}x=-2\\ y=2\end{array}$ ，故当 $\lambda$ 变化时，方程 $2x-3y+10+\lambda (3x+4y-2)=0$ 表示恒过点 $(-2,2)$ 的无数条直线。这无数条直线不包括 $3x+4y-2=0$ 。

根据直线系, 我们又得到例4.7 的第二种解法:

解析2

经过两条直线的交点的方程为 $2x-3y+10+\lambda (3x+4y-2)=0$ ，整理可得

$$(2+3\lambda )x+(4\lambda -3)y+10-2\lambda =0.$$

因为此直线与 $3x-2y+4=0$ 垂直, 所以 $3(2+3\lambda )-2(4\lambda -3)=0$ , 解得 $\lambda =-12$ , 代入上式得到所求方程为 $2x+3y-2=0$ , 故填 $2x+3y-2=0$ .

通过这个例子, 可知当题目涉及两条相交直线的交点时, 用定点直线系会使解题过程 “化繁为简”, 定点直线系的结论总结如下:

结论总结 4.1

经过直线 ${\ell }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ 和直线 ${\ell }_2:A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$ 的交点的直线系方程为 $A_{1}x+B_{1}y+C_1+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_2)=0$ .

特别注意, 这个直线系方程并不能表示直线 ${\ell }_2$ .

变式 4.7.1

经过两条直线 $2x+y-8=0$ 和 $x-2y+1=0$ 的交点, 且平行于直线 4x - 3y - 7 = 0 的直线为 ____.

结论总结4.1中的 $\lambda$ 又称为“定点参”，我们可以通过消去定点参找到直线系恒过的定点，请看下面的例题：

例 4.8

(2022 浙江模拟) 在平面直角坐标系 xOy 中, 设直线 $\ell$ 的方程为 $(2+a)x+(a-1)y-3a-3=0(a\in \mathbb{R})$ .

($I$) 求证: 直线 $\ell$ 恒过一个定点 $P$ , 并求出定点 $P$ 的坐标;

(II) 若直线 $\ell$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴正半轴于 $A,B$ 两点， $S$ 表示 $△AOB$ 的面积，求 $S$ 的最小值.

查看解析与步骤

($I$) 直线 $\ell$ 整理为 $2x-y-3+a(x+y-3)=0$ , 由 $\{\begin{array}{l}2x-y-3=0\\ x+y-3=0\end{array}$ 可得 $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}$ 所以 $P$ 点坐标为 (2,1).

(Ⅱ) 设 $A(m,0),B(0,n)(m>0,n>0)$ , 则 $\ell$ 的截距式方程为 $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$ , 由 ($I$) 可知直线 $\ell$ 恒过定点 $P(2,1)$ , 所以 $\frac{2}{m}+\frac{1}{n}=1$ , 于是

$$S=\frac{1}{2}mn=\frac{1}{\frac{2}{m}\cdot \frac{1}{n}}⩾\frac{1}{{\left(\frac{\frac{2}{m}+\frac{1}{n}}{2}\right)}^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4,$$

当且仅当 $\frac{2}{m}=\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$ , 即 $m=4,n=2$ 时 $S$ 取到最小值.