4.1.2 直线的几种表示

知识点 4.2

（1）点斜式：直线 $\ell$ 过 $(x_0,y_0)$ ，且斜率为 $k$，则 $\ell :y-y_0=k(x-x_0)$ ;

(2) 斜截式: 直线 $\ell$ 在 $y$ 轴上的截距为 $b$ , 且斜率为 $k$ , 则 $\ell :y=kx+b$ ;

(3) 截距式: 直线 $\ell$ 过 $(a,0)$ , $(0,b)$ 且 $ab\ne 0$ , 则 $\ell :\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ ;

$$(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x_1\ne x_1,y_1\ne y_2)$$$$\ell :\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$

(5) 一般式: $Ax+By+C=0(A,B$ 不同时为 0).

直线方程有五种形式, 都有约束条件. 因此, 要慎用每一种形式的直线方程. 对于任何一种求直线方程的题型, 建议同学们把最后的直线方程写成一般式, 因为高考的参考答案给出的直线方程都是一般式.

例 4.3

一条直线经过点 $A(2,-3)$ ，并且它的倾斜角等于直线 $y=\frac{1}{2}x$ 的倾斜角的 2 倍，则这条直线的方程为 ____.

查看解析与步骤

设 $y=\frac{1}{2}x$ 的斜率为 $k_1$ ，倾斜角为 $\alpha$ ，则 $\tan \alpha =k_1=\frac{1}{2}$ ，由题意知，所求直线的倾斜角为 $2\alpha$ ，设所求直线的斜率为 $k_2$ ，则 $k_2=\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{4}{3}$ ，根据直线的点斜式方程可得 $y+3=\frac{4}{3}(x-2)$ ，整理可得 $4x-3y-17=0$ ，故填 $4x-3y-17=0$ .

当然也可以用斜截式来求解, 设 $y=\frac{4}{3}x+m$ , 把点 $A(2,-3)$ 代入, 可得 $m=-\frac{17}{3}$ , 则直线方程为 $y=\frac{4}{3}x-\frac{17}{3}$ . 斜截式其实就是点斜式, 只不过在初中的时候大多数人习惯了斜截式的形式.

例 4.4

已知直线过点 $P(2,3)$ ，并且在两轴上的截距相等的直线方程为 ____.

解析 1

设直线方程为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ ，由于截距相等，故 a = b，则 $\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$ ，又因为点 $P(2,3)$ 在直线上，则 $\frac{2}{a}+\frac{3}{a}=1$ ，可得 a = b = 5，故直线方程为 $x+y-5=0$ 。

解析1 属于典型错误, 既然采用了截距式方程, 就必须充分考虑该直线方程的适用条件. 对于垂直坐标轴或经过原点的直线, 截距式方程就不适用, 因为在这种情况下截距可能为零. 接下来将提供正确的解析:

解析 2

（1）当直线与坐标轴的截距为零时，则可设直线为 y = kx，点 $P(2,3)$ 在直线上，可得 $k=\frac{3}{2}$ ，故直线方程为 $y=\frac{3}{2}x$ .

(2) 当直线与坐标轴的截距不为零时, 可设直线方程为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ , 由于截距相等, 故 $a=b$ , 则 $\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$ , 又点 $P(2,3)$ 在直线上, 则 $\frac{2}{a}+\frac{3}{a}=1$ , 解得 $a=b=5$ , 故直线方程为 $x+y=5$ .

截距并不是距离, 我们把直线与坐标轴交点的横坐标 (纵坐标) 叫作直线在坐标轴上的截距. 截距可以为正数也可为负数, 还可以为零.

变式 4.4.1

已知直线 $\ell$ 过点 $P(1,4)$ ，分别交 $x$ 轴的正半轴和 $y$ 轴的正半轴于 $A$, $B$ 两点，$O$ 为坐标原点，当 $|OA|+|OB|$ 最小时，求 $\ell$ 的方程.

对于一般式 $Ax+By+C=0(A,B$ 不同时为 0), 它的优点是可以表示任意一条直线, 它的缺点是几何特征不明显, 比如斜率、与坐标轴的交点等, 为了寻找它的几何特征, 我们一般将直线的一般式作如下转化:

(1) 当 $B=0$ 时, 直线可化为 $x=-\frac{C}{A}$ , 其无斜率, 倾斜角为 $90^{\circ }$ ;

(2) 当 $B\ne 0$ 时, 直线可化为 $y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$ , 其斜率为 $-\frac{A}{B}$ , 与 $y$ 轴的截距为 $-\frac{C}{B}$ .

例 4.5

(2023 福州统考-多选题) 下列结论正确的有（）.

A. 如果 $AC<0$ , $BC<0$ , 那么直线 $Ax+By+C=0$ 不经过第三象限

B. 若直线 $\ell :(a+1)x+y+2-a=0$ 在两坐标轴上的截距相等, 则 $a=0$ 或 $a=2$

C. 直线 $3x+4y+2=0$ 的倾斜角为 $\theta$ , 则 $\sin \theta =\frac{4}{5}$

D. 直线 $\ell :(a^2+2a)x-\sqrt{3}y-3=0$ 的倾斜角的取值范围为 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left[\frac{5\pi }{6},\pi \right)$

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选项 $A$, 由 BC < 0 可知 $B\ne 0$ , 直线 $Ax+By+C=0$ 可化为 $y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$ . 因为 AC < 0, BC < 0, 所以 $A$ 与 $B$ 符号相同, 因此直线的斜率 $k=-\frac{A}{B}<0$ , 在 $y$ 轴上的截距 $b=-\frac{C}{B}>0$ , 即直线 $Ax+By+C=0$ 不经过第三象限, 故 $A$ 正确.

选项$B$, 由 $(a+1)x+y+2-a=0$ 可得 $(a+1)x+y=a-2$ . 当 $a-2=0$ 时, 即 $a=2$ , 直线 $\ell$ 为 $3x+y=0$ . 当 $a-2\ne 0$ 时, 可得 $\frac{a+1}{a-2}x+\frac{1}{a-2}y=1$ , 由于直线 $\ell$ 在两坐标轴上的截距相等, 故 $\frac{a+1}{a-2}=\frac{1}{a-2}$ , 解得 $a=0$ , 直线 $\ell$ 为 $x+y+2=0$ , 所以 $a=0$ 或 $a=2$ , 故 $B$ 正确.

选项$C$, 由 $3x+4y+2=0$ 可得 $y=-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}$ , 从而 $k=\tan \theta =-\frac{3}{4}$ , 故 $\theta$ 为钝角, 则 $\sin \theta >0$ , $\cos \theta <0$ . 由 $\{\begin{array}{l}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1\\ \frac{\sin \theta }{\cos \theta }=-\frac{3}{4}\end{array}$ , 可知 $\sin \theta =\frac{3}{5}$ , 故 $C$ 错误.

选项$D$, 由直线 $\ell :(a^2+2a)x-\sqrt{3}y-3=0$ , 可得 $y=\frac{a^2+2a}{\sqrt{3}}x-\sqrt{3}$ , 所以 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}(a^2+2a)=\frac{\sqrt{3}}{3}[(a+1{)}^2-1]⩾-\frac{\sqrt{3}}{3}$ . 设直线的倾斜角为 $\alpha$ , 则 $\tan \alpha ⩾-\frac{\sqrt{3}}{3}$ . 因为 $\alpha \in [0,\pi )$ , 所以 $\alpha \in [0,\frac{\pi }{2})$ 或 $\alpha \in [\frac{5\pi }{6},\pi )$ , 即直线 $\ell$ 的倾斜角取值范围为 $[0,\frac{\pi }{2})\cup [\frac{5\pi }{6},\pi )$ , 故 $D$ 正确.

综上所述, 选 ABD.

变式 4.5.1

(2022 浙江模考-多选题) 直线 $(36a^2+3)x-36ay+1=0$ 的倾斜角可能是 ( ). A. 0 B. $\frac{\pi }{3}$ C. $\frac{2\pi }{3}$ D. $\frac{5\pi }{6}$