4.1.1 倾斜角与斜率

知识点 4.1

直线 $\ell$ 的倾斜角为 $\alpha$ , 任取直线 $\ell$ 上两点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)(x_1\ne x_2)$ , 则 (1) 斜率: $k=\tan \alpha ,\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ ; (2) 斜率公式: $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .

直线的倾斜角 $\alpha$ 的取值范围为 $\alpha \in [0,\pi )$ .

例 4.1

已知 $A(-1,-2)$ , $B(2,1)$ , $C(x,2)$ 三点共线, 则 x= ____, 直线 AB 的倾斜角为 ____.

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因为 $A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)$ 三点共线，所以 $k_{AB}=k_{BC}$ ，即 $\frac{1+2}{2+1}=\frac{2-1}{x-2}$ ，解得 $x=3$ ，设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\alpha$ ，则 $\tan \alpha =1$ ，因此 $\alpha =\frac{\pi }{4}$ ，故填 $3;\frac{\pi }{4}$ .

再看斜率公式 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ , 这是关于 $x,y$ 的一次分式, 根据这个特征, 如果题目中遇到关于 $x,y$ 的一次分式, 我们就可以尝试构造斜率.

例 4.2

已知点 $A(-1-\sqrt{3},-1)$ , $B(3,0)$ ，若点 $M(x,y)$ 在线段 AB 上，则 $\frac{y-2}{x+1}$ 的取值范围是 ____.

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如图 4-1所示, 设 $N$ 为 $(-1,2)$ , $C$ 为 $AB$ 上一点且 $CN\parallel y$ 轴. 由 $\frac{y-2}{x+1}=\frac{y-2}{x-(-1)}$ , 得 $\frac{y-2}{x+1}$ 为点 $M(x,y)$ 与点 $N(-1,2)$ 连线的斜率 $k_{MN}$ , 由于 $k_{NA}=\frac{-1-2}{-1-\sqrt{3}+1}=\sqrt{3},k_{NB}=\frac{2-0}{-1-3}=-\frac{1}{2}$ , 则当 $M$ 从 $A$ 无限趋近于 $C$ 时, $k_{MN}\in [\sqrt{3},+\infty )$ , 当 $M$ 从 $C$ 运动到 $B$ 时, $k_{MN}\in \left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right]$ , 故填 $\left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right]\cup [\sqrt{3},+\infty )$ .

图4-1

一次分式型转直线斜率, 是一个很重要的技巧, 现总结如下:

方法总结 4.1

分式型 $\frac{y-n}{x-m}$ 可以转化为($m$,$n$)与($x$,$y$)连线的斜率.

变式 4.2.1

(2023 湖北期末) 已知幂函数 $f(x)$ 的图像经过点 $\left(\frac{1}{8},\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ . $P(x_1,y_1)$ , $Q(x_2,y_2)(x_1<x_2)$ 是函数图像上的任意不同两点, 则以下结论正确的有 ( ).

A. $x_{1}f(x_1)>x_{2}f(x_2)$ B. $x_{1}f(x_1)<x_{2}f(x_2)$ C. $\frac{f(x_1)}{x_1}>\frac{f(x_2)}{x_2}$ D. $\frac{f(x_1)}{x_1}<\frac{f(x_2)}{x_2}$