【知识点 3.16】内心, 顾名思义, 即内切圆的圆心, 它是三条角平分线的交点.

例 3.82

已知 $O$ 是平面上一定点, $A$, $B$, $C$ 是平面上不共线的三个点, 动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)$ , $\lambda \in [0,+\infty )$ , 则点 $P$ 的轨迹一定通过 $△ABC$ 的 ( ).

A. 外心 $B$. 内心 $C$. 重心 $D$. 垂心

解析

因为 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$ ， $\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ 分别表示 $\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{AC}$ 方向上的单位向量，所以 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ 与 $\angle BAC$ 的角平分线共线。由 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)$ ，可得 $\overrightarrow{AP}=\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)$ ，所以 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\angle BAC$ 的角平分线共线，则点 $P$ 的轨迹一定通过 $△ABC$ 的内心。故选 $B$.

内心与角平分线密切相关, 而角平分线有一个很重要的定理: 角平分线定理.

角平分线定理

在 $△ABC$ 中, $AD$ 为 $\angle BAC$ 的角平分线, 则 $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$ .

例 3.83

已知 $△ABC$ 中, AB = 3, AC = 2, $D$ 是 BC 边上一点. A, $P$, $D$ 三点共线, 若 $\overrightarrow{AP}=\frac{2\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{2\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ , 则 $△BPD$ 与 $△CPD$ 的面积比为 ( ). A. $\frac{3}{2}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C. $\frac{9}{4}$ D. $\frac{4}{9}$

解析

由 $\overrightarrow{AP}=\frac{2\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{2\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ ，可知 $P$ 在 $\angle BAC$ 的角平分线上，如图 3-79所示．又由于 $A,P,D$ 三点共线，且 $D$ 是 $BC$ 边上一点，所以根据角平分线定理得 $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$ ，从而 $\frac{S_{△BPD}}{S_{△CPD}}=\frac{BD}{CD}=\frac{3}{2}$ 故选$A$.

图3-79

变式 3.83.1

设 $O$ 是 $△ABC$ 的内心, AB = c, AC = b, 若 $\overrightarrow{AO}={\lambda }_1\overrightarrow{AB}+{\lambda }_2\overrightarrow{AC}$ , 则 ( ). A. $\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}=\frac{b}{c}$ B. $\frac{{\lambda }_1^2}{{\lambda }_2^2}=\frac{b}{c}$ C. $\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}=\frac{c^2}{b^2}$ D. $\frac{{\lambda }_1^2}{{\lambda }_2^2}=\frac{c}{b}$