3.7.1 四心

让我们从重心开始, 从高考的角度来看这是最重要的一个心.

知识点 3.15

如图 3-78 所示，在 $△ABC$ 中，三条中线 AE, CD, BF 的交点 $G$ 叫重心.

图3-78

框架 1.7-1

已知 $G$ 为 $△ABC$ 所在平面上一点，$D$, $E$, $F$ 分别为 AB, BC, AC 的中点，如图 3-78 所示，则有如下框架图所示的结论：

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下面我们给出第一个式子的证明，其他都可以由这个得出．连接 $EF$ ，因为 $EF$ 为中位线，所以 $EF=\frac{1}{2}AB$ ，即 $\frac{AG}{GE}=\frac{AB}{EF}=2$ ，亦即 $AG=2GE$ ．同理 $CG=2GD,BG=2GF$ ，即 $\frac{AG}{GE}=\frac{BG}{GF}=\frac{CG}{GD}=\frac{2}{1}$

例 3.79

(2023 浙江模考) 设 $G$ 是 $△ABC$ 的重心, 且 $(56\sin A)\overrightarrow{GA}+(40\sin B)\overrightarrow{GB}+(35\sin C)\overrightarrow{GC}=0$ , 则 B = ____.

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因为 $G$ 是 $△ABC$ 的重心, 所以 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$ . 根据题中条件可得 $56\sin A:40\sin B:35\sin C=1:1:1$ , 即 $\sin A:\sin B:\sin C=5:7:8$ . 又由正弦定理可知 $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=5:7:8$ . 设 a = 5k, b = 7k, c = 8k, 由余弦定理可得

$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{25k^2+64k^2-49k^2}{2\times 5k\cdot 8k}=\frac{1}{2}.$$

又因为 $B\in (0,\pi )$ , 所以 $B=\frac{\pi }{3}$ , 故填 $B=\frac{\pi }{3}$ .

如果 $G$ 为 $△ABC$ 的重心, 则 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$ , 这个是三角形重心最重要的标志! 如果在平面直角坐标系中, 设 $A(x_1,y_1)$ , $B(x_2,y_2)$ , $C(x_3,y_3)$ , $G(x,y)$ , 由

$$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0⟹\{\begin{array}{l}x=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\\ y=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\end{array},$$

即重心坐标为 $G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ . 重心这个点的性质绝不仅仅局限于这个框架图, 见下面这个例子.

例 3.80

在 $△ABC$ 内存在一点 $P$，使 $\overrightarrow{A{P}^2}+\overrightarrow{B{P}^2}+\overrightarrow{C{P}^2}$ 取得最小值，则该点是 $△ABC$ 的 ( ). A. 重心 $B$. 内心 $C$. 垂心 $D$. 外心

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在平面直角坐标系中, 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$ , 点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$ , 令 $S=\overrightarrow{A{P}^2}+\overrightarrow{B{P}^2}+\overrightarrow{C{P}^2}$ , 则

$$S=3x^2+3y^2-2(x_1+x_2+x_3)x-2(y_1+y_2+y_3)y+x_1^2+x_2^2+x_3^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2$$

配方后可得

$$S=3{\left(x-\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\right)}^2+3{\left(y-\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)}^2+$$$$\frac{1}{3}\left[(x_1-x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2+(x_1-x_3{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(y_2-y_3{)}^2+(y_1-y_3{)}^2\right],$$

可知当 $x=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$ 且 $y=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}$ 时有最小值, 此时点 $P$ 刚好为 $△ABC$ 的重心. 故选 $A$.

在例3.80中我们通过建系, 利用坐标得出点 $P$ 到三角形三个顶点距离, 而得到的式子结构特征很明显, 这个点 $P$ 为三角形的重心时取得最小值. 由此我们可以得到三角形的重心到三角形的 3 个顶点的距离的平方和最小.

变式 3.80.1

(2022 全国模考) 过 $△ABC$ 的重心 $O$ 的直线 PQ 交 AC 于点 $P$, 交 BC 于点 $Q$, $\overrightarrow{PC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{QC}=n\overrightarrow{BC}$ , 则 $n$ 的值为 ____.

例 3.81

已知 $O$ 是平面上一定点, $A$, $B$, $C$ 是平面上不共线的三个点, 动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|\sin B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|\sin C}\right)$ , $\lambda \in [0,+\infty )$ , 则 $P$ 的轨迹一定通过 $△ABC$ 的 ( ).

A. 外心 $B$. 内心 $C$. 重心 $D$. 垂心

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由题意可得 $\overrightarrow{AP}=\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|\sin B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|\sin C}\right)$ . 再由正弦定理可知 $|\overrightarrow{AB}|\sin B=|\overrightarrow{AC}|\sin C$ , 所以 $\overrightarrow{AP}=\frac{\lambda }{|\overrightarrow{AB}|\sin B}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ . 设 $BC$ 的中点为 $D$ , 所以 $\overrightarrow{AP}=\frac{2\lambda }{|\overrightarrow{AB}|\sin B}\overrightarrow{AD}$ , 则由平行四边形法则可知, 点 $P$ 在 $BC$ 的中线 $AD$ 所在的射线上, 则 $P$ 的轨迹一定通过 $△ABC$ 的重心, 故选 $C$.

变式 3.81.1

已知 $O$ 是平面上一定点, $A$, $B$, $C$ 是平面上不共线的三个点, 动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}+\lambda \overrightarrow{AP}$ , 则 $P$ 的轨迹一定通过 $△ABC$ 的 ( ).

A. 内心 $B$. 外心 $C$. 垂心 $D$. 重心