3.6.1 平行线的向量表示

下面我们来了解一种常见的几何问题, 即与平行线的最值问题有关的问题. 对于形如 $ta\pm b$ 的向量表达式, 通过图形辅助解题, 往往比使用代数方法简单得多.

知识点 3.10

将不共线的向量 $a$, $b$, $c$ 平移成共起点 $O$，设它们的终点依次为 $A$, $B$, $C$. (1) 若 $c=ta+b$ ，则 $C$ 的轨迹是一条直线，且这条直线与 $a$ 平行并且 $B$ 落在该直线上. (2) 若 $c=ta-b$ ，则 $C$ 的轨迹是一条直线，且这条直线与 $a$ 平行并且 $B^{\prime }$ 落在该直线上，这里 $B^{\prime }$ 是 $B$ 关于 $O$ 的对称点.

查看解析与步骤

令 $a=\overrightarrow{OA},b=\overrightarrow{OB},c=\overrightarrow{OC},-b=\overrightarrow{O{B}^{\prime }}$ ，则

(1) 如图 3-57 所示, 由 $c=b+ta$ , 得 $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OA}$ , 故 $\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OA}$ , 所以 $C$ 的轨迹是一条直线, 且这条直线与 $a$ 平行并且 $B$ 落在该直线上.

(2) 如图 3-58 所示, 由 $c=-b+ta$ , 得 $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{O{B}^{\prime }}+t\overrightarrow{OA}$ , 故 $\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=t\overrightarrow{OA}$ , 所以 $C$ 的轨迹是一条直线, 且这条直线与 $a$ 平行并且 $B^{\prime }$ 落在该直线上, 这里 $B^{\prime }$ 是 $B$ 关于 $O$ 的对称点.

图3-57

图3-58

由知识点3.10可知, $C$ (见图 3 (见图 3-58) 上运动时, 如果 $BC$ (见图3-57) 或直线 $B^{\prime }C$ (见图3-58) 上运动时, 如果 $OC\perp BC$ 或 $OC\perp B^{\prime }C$ , 那么线段 $OC$ 取到最小值, 即 $|ta\pm b|$ 取得最小值. 现总结如下:

结论总结 3.4

$|ta\pm b|$ (其中 $t$ 为任意实数) 的最小值在 $(ta\pm b)\perp a$ 处取得.

我们也可以利用函数的最值思想来推导上述结论. 以 $|ta+b|$ 的最小值为例作说明, $|ta+b|$ 的情形可类似得到. 设 $f(t)=|ta+b{|}^2$ , 利用向量模长的公式可得

$$f(t)=(t\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (t\mathbf{a}+\mathbf{b})=|\mathbf{a}{|}^2{t}^2+(2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})t+|\mathbf{b}{|}^2.$$

显然, $f(t)$ 是关于 $t$ 的二次函数且 $t\in \mathbb{R}$ , 因此其最值在对称轴处取得, 即 $t=-\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}{|}^2}$ . 进一步化简可得 $(ta+b)\cdot a=0$ , 即 $(ta+b)\perp a$ , 则 $|ta+b|$ 的最小值在 $(ta+b)\perp a$ 处取得.

例 3.67

已知向量 $a\ne e,|e|=1$ ，对任意 $t\in R$ ，恒有 $|a-te|⩾|a-e|$ ，则（）. A. $a\perp e$ B. $a\perp (a-e)$ C. $e\perp (a-e)$ D. $(a+e)\perp (a-e)$

解析 1

因为对任意 $t\in R$ ，恒有 $|a-te|⩾|a-e|$ ，所以 $|a-te|$ 最小值为 $|a-e|$ .

令 $e=\overrightarrow{OA},a=\overrightarrow{OB},a-te=\overrightarrow{OC}$ , 由知识点3.10可知 $BC//OA$ , 过 $O$ 作 $OD\perp BC$ , 垂足为 $D$ , 则当 $C$ 在直线 $BC$ 上运动时, $|OC|$ , 如图 3-59所示, 此时 $|OD|$ , 如图3-59所示, 此时 $\overrightarrow{OD}=a-e$ , 所以 $e\perp (a-e)$ . 故选 $C$.

解析 2

因为向量 $a\ne e,|e|=1$ ，对任意 $t\in R,|a-te|⩾|a-e|$ ，图 3-59

所以对不等式两边同时平方, 化简整理可得 $t^2-2aet+2ae-1⩾0$ 对任意 $t\in \mathbb{R}$ 都成立. 于是

$$\Delta =4(\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}{)}^2-4(2\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}-1)⩽0\Rightarrow (\mathbf{a}\cdot \mathbf{e}-1{)}^2⩽0\Rightarrow \mathbf{a}\cdot \mathbf{e}=1.$$

根据选项, 可知 $C$ 选项中, 因为 $e\perp (a-e)$ , 所以 $e\cdot (a-e)=0$ , 即为 $a\cdot e=1$ , 故选 $C$.

例 3.68

(2014 浙江文 9) 设 $\theta$ 为两个非零向量 $a,b$ 的夹角, 已知对任意实数 $t$ , $|b+ta|$ 的最小值为 1 , 则 ( ).

A. 若 $\theta$ 确定, 则 $|a|$ 唯一确定 $B$. 若 $\theta$ 确定, 则 $|b|$ 唯一确定 $C$. 若 $|a|$ 确定, 则 $\theta$ 唯一确定 $D$. 若 $|b|$ 确定, 则 $\theta$ 唯一确定

解析 1

令 $a=\overrightarrow{OA},b=\overrightarrow{OB},c=\overrightarrow{OC}$ ，如图 3-60 所示， $\overrightarrow{OC}=c=b+ta=\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OA}$ ，即 $\overrightarrow{BC}=t\overrightarrow{OA}$ ，所以 $C$ 点的轨迹为过 $B$ 且与 OA 平行的直线。当 $C$ 与 $C_1$ 重合时， $|b+ta|$ 取得最小值为 $|\overrightarrow{O{C}_1}|=1$ 。

选项 $A$, 如图 3-60 所示, 在 Rt△OC₁B 中, $\tan \angle OB{C}_1=\frac{|\overrightarrow{O{C}_1}|}{|\overrightarrow{B{C}_1}|}$ , 则 $\tan \theta =\frac{1}{|t||a|}$ , 即 $|a|=\frac{1}{|t|\tan \theta }$ , 当 $\theta$ 确定时, 若 $|t|$ 取不同的值, 得到的 $|a|$ 不唯一, 因此 $A$ 错误.

选项 $B$, 如图 3-61 所示, 在 Rt△OC₁B 中, $\sin \angle OB{C}_1=\frac{|\overrightarrow{O{C}_1}|}{|\overrightarrow{OB}|}$ , 则 $|\overrightarrow{OB}|=\frac{|\overrightarrow{O{C}_1}|}{\sin \angle OB{C}_1}$ , 即 $|b|=\frac{1}{\sin \theta }$ , 可知当 $\theta$ 确定时, $|b|$ 是定值, 因此 $B$ 正确.

选项 $C$, 如图 3-62 所示, 在 Rt△OC₁B 中, $\tan \angle OB{C}_1=\frac{|\overrightarrow{O{C}_1}|}{|\overrightarrow{B{C}_1}|}$ , 即 $\tan \theta =\frac{1}{|t||a|}$ , 可知当 $|a|$ 确定时, 若 $|t|$ 取不同的值, $\theta$ 不是唯一确定的, 因此 $C$ 错误.

选项 $D$, 如图 3-63 所示, 在 Rt△OC₁B 中, $\sin \angle OB{C}_1=\frac{|\overrightarrow{O{C}_1}|}{|\overrightarrow{OB}|}$ , 即 $\sin \theta =\frac{1}{|b|}$ , $\theta$ 可能是锐角或钝角, 因此 $D$ 错误.

故选 $B$.

你的非排 ？平面几何与三角函数(第二版)

图3-60

图3-61

图3-62

图3-63

解析 2

令 $f(t)=|b+ta{|}^2$ ，则 $f(t)=a^2{t}^2+2|a||b|\cos \theta t+b^2$ ，由于 $|a|\ne 0$ ，所以 $f(t)$ 是关于 $t$ 的二次函数，对称轴为 $t=-\frac{|b|\cos \theta }{|a|}$ ，所以 $f(t{)}_{\min }=f\left(-\frac{|b|\cos \theta }{|a|}\right)=1$ ，即为

$$f\left(-\frac{|\mathbf{b}|\cos \theta }{|\mathbf{a}|}\right)={\mathbf{a}}^2\cdot {\left(-\frac{|\mathbf{b}|\cos \theta }{|\mathbf{a}|}\right)}^2+2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta \cdot \left(-\frac{|\mathbf{b}|\cos \theta }{|\mathbf{a}|}\right)+{\mathbf{b}}^2=1,$$

化简可得 ${\mathbf{b}}^2(1-{\cos }^2\theta )=1$ ，整理得 $b^2{\sin }^2\theta =1$ ，即 $\sin \theta =\frac{1}{|b|}$ 。当 $|b|$ 确定， $\theta$ 会出现两个值，分别为第一象限角与第二象限角，故 $D$ 错误。当 $\theta$ 确定， $|b|$ 唯一确定。故选 $B$.

对于 $c=ta+b$ （其中 $t$ 为任意实数）这类题型，同学们可以考虑两种解题思路：几何意义和函数思想。在例3.67和例3.68中，我们也可以采用坐标法解题，但建系法的运算相对复杂，如果同学们有兴趣，也可以尝试使用坐标法。

现在, 让我们再次来看例3.66, 为了完善叙述的完整性并便于同学们对比, 将题目再复制如下. 在本节的开篇, 我们通过建系的方式求解本题, 虽然建系比较简单, 但计算却相对复杂. 在这里, 我们将通过几何意义来解决.

例 3.69

已知定圆 $C$ 的半径为 3, $A$, $B$ 为圆 $C$ 上两点, 且 $\left|\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AB}\right|$ 的最小值为 1, 则 $\left|\overrightarrow{AB}\right|=$ ____.

查看解析与步骤

根据题意, 画出草图, 图像如图 3-64 所示. 令 $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AB}$ , 即 $\overrightarrow{CE}=t\overrightarrow{AB}$ , 所以点 $E$ 的轨迹为过点 $C$ 且与 $AB$ 平行的直线. 当 $E$ 与 $D$ 点重合, 即 $AD\perp CD$ 时, $|\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AB}|$ , 如图 3-65 所示. 可得圆心 $|AD|=1$ , 如图 3-65 所示. 可得圆心 $C$ 到线段 $AB$ 的距离 $d=1$ , 所以由圆内弦长公式可知 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=4\sqrt{2}$ , 故填 $4\sqrt{2}$ .

图3-64

图3-65

对比例3.66和例3.69这两个例子的解析, 你会发现建系法相比几何意义来说并不直接. 再次强调, 建系是向量问题的首选方法, 但在某些情况下, 建系并不方便且运算量较大, 这时候建系就不可取, 应当选择其他方法来解决问题.

变式 3.69.1

（2023 天津模考）在 $△ABC$ 中， $A=\frac{\pi }{3}$ ，点 $D$ 满足 $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ ，则 $\frac{AD}{AC}=$ ____；若对任意 $x\in \mathbb{R}$ ， $|x\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}|⩾|\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}|$ 恒成立，则 $\cos \angle ABC=$ ____.