3.1.3 数量积 (一)

在3.1.1节中, 我们详细阐述了向量的加法、减法以及数乘运算, 这些都属于向量的线性运算. 在本小节中, 我们将学习向量的另一种运算, 即向量的数量积.

知识点 3.4

已知两个非零向量 $a$ 和 $b$，它们的夹角为 $\theta$ ，把数量 $|a||b|\cos \theta$ 叫作 $a$ 和 $b$ 的数量积（或内积），记作 $a\cdot b$ ，即 $a\cdot b=|a||b|\cos \theta$ .

例 3.11

等边 $△ABC$ 的边长为 1, $\overrightarrow{BC}=a$ , $\overrightarrow{CA}=b$ , $\overrightarrow{AB}=c$ , 那么 $a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a$ 等于 ( ). A. 3 B. -3 C. $\frac{3}{2}$ D. $-\frac{3}{2}$

查看解析与步骤

如图 3-8 所示, 由于 $△ABC$ . 如图 3-9 所示, 将向量 $60^{\circ }$ . 如图 3-9 所示, 将向量 $\overrightarrow{CA}$ 平移到向量 $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ , 得到 $⟨b,c⟩=⟨\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB}⟩=⟨\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{AB}⟩=120^{\circ }$ , 同理 $⟨a,b⟩=⟨a,c⟩=120^{\circ }$ . 则 $a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a=|a||b|\cos 120^{\circ }+|b||c|\cos 120^{\circ }+|a||c|\cos 120^{\circ }=-\frac{3}{2}$ , 故选 $D$.

图3-8

图3-9

在例3.11中, 因为知道向量的模长, 并且能求出任意两个向量的夹角, 所以我们能够求出数量积. 当然, 并不是所有的数量积都需要找出向量的夹角, 有时我们通过数量积的运算律也可以绕开向量的夹角, 比如下面例题:

例 3.12

（2021 新高考 II 15）已知向量 $a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,$ 则 $a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a=$ ____.

查看解析与步骤

由 $a+b+c=0$ ，等式两边同时平方，可得 $a^2+b^2+c^2+2a\cdot b+2a\cdot c+2b\cdot c=0$ ，又因为 $|a|=1,|b|=|c|=2$ ，所以 $a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a=-\frac{9}{2}$ 。故填 $-\frac{9}{2}$ 。

变式 3.12.1

(2022 全国乙理 3) 已知向量 $a$, $b$ 满足 $|a|=1$ , $|b|=\sqrt{3}$ , $|a-2b|=3$ , 则 $a\cdot b=$ ( ). A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

知识点 3.5

已知两个非零向量 $a$ 和 $b$ , 则 $|\lambda a+\mu b|=\sqrt{{\lambda }^2{a}^2+{\mu }^2{b}^2+2\lambda \mu a\cdot b}$ .

例 3.13

（2020 全国Ⅲ理 6）已知向量 $a$, $b$ 满足 $|a|=5,|b|=6,a\cdot b=-6$ ，则 $\cos ⟨a,a+b⟩=$ A. $-\frac{31}{35}$ B. $-\frac{19}{35}$ C. $\frac{17}{35}$ D. $\frac{19}{35}$

查看解析与步骤

因为 $|a|=5,|b|=6,a\cdot b=-6$ , 所以 $a\cdot (a+b)=a^2+a\cdot b=25-6=19$ , 又因为 $|a+b|=\sqrt{(a+b{)}^2}=\sqrt{a^2+2a\cdot b+b^2}=\sqrt{25-12+36}=7$ , 则

$$\cos ⟨\mathbf{a},\mathbf{a}+\mathbf{b}⟩=\frac{\mathbf{a}\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})}{|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{a}+\mathbf{b}|}=\frac{19}{5\times 7}=\frac{19}{35}.$$

故选D.

例 3.14

(2014 江西理 14) 已知单位向量 $e_1$ 与 $e_2$ 的夹角为 $\alpha$ ，且 $\cos \alpha =\frac{1}{3}$ ，向量 $a=3e_1-2e_2$ ， $b=3e_1-e_2$ 的夹角为 $\beta$ ，则 $\cos \beta =$ ____.

查看解析与步骤

由于已知 $e_1$ 与 $e_2$ 的模长和夹角，故以 $\{e_1,e_2\}$ 为基底，分别求出 $a\cdot b,|a|,|b|$ .

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=(3e_1-2e_2)\cdot (3e_1-e_2)=9e_1^2-9e_1\cdot e_2+2e_2^2=8,$$$$\left|\mathbf{a}\right|=\left|3e_1-2e_2\right|=\sqrt{{\left(3e_1-2e_2\right)}^2}=\sqrt{9e_1^2-12e_1\cdot e_2+4e_2^2}=3,$$$$|\mathbf{b}|=|3{\mathbf{e}}_1-{\mathbf{e}}_2|=\sqrt{{\left(3{\mathbf{e}}_1-{\mathbf{e}}_2\right)}^2}=\sqrt{9{\mathbf{e}}_1^2-6{\mathbf{e}}_1\cdot {\mathbf{e}}_2+{\mathbf{e}}_2^2}=\sqrt{8},$$

则 $\cos \beta =\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ , 故填 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ .

变式 3.14.1

（2013 浙江文 17）设 $e_1,e_2$ 是单位向量，非零向量 $b=x{e}_1+y{e}_2$ ，若 $e_1,e_2$ 的夹角为 $\frac{\pi }{6}$ ，则 $\frac{|x|}{|b|}$ 的最大值等于 ____.

变式 3.14.2

已知向量 $a$, $b$ 满足 $|a|=|b|=1$ ，且 $|ka+b|=\sqrt{3}|a-kb|(k>0)$ ，则向量 $a$ 与 $b$ 的夹角的最大值为 ____.

知识点 3.6

设 $a,b$ 是两个非零向量， $a$ 与 $b$ 的夹角为 $\theta$ ，则称 $|b|\cos \theta =\frac{a\cdot b}{|a|}$ 为向量 $b$ 在向量 $a$ 上的投影数量.

令 $a=\overrightarrow{OA},b=\overrightarrow{OB}$ ，则 $b$ 在 $a$ 方向上的投影数量有以下三种情况：

(1) 如图 3-10 所示, $b$ 在 $a$ 上的投影数量为 $\left|\overrightarrow{O{B}_1}\right|=\left|b\right|\cos ⟨a,b⟩$ , 故 $a\cdot b=\left|\overrightarrow{O{B}_1}\right|\left|\overrightarrow{OA}\right|$ ;

(2) 如图 3-11 所示, $b$ 在 $a$ 上的投影数量为 0, 故 $a\cdot b=0\cdot |\overrightarrow{OA}|=0$ ;

(3) 如图 3-12 所示, $b$ 在 $a$ 上的投影数量为 $-|\overrightarrow{O{B}_1}|=|b|\cos ⟨a,b⟩$ , 故 $a\cdot b=-|\overrightarrow{O{B}_1}||\overrightarrow{OA}|$ .

图3-10

图3-11

图3-12

通过投影数量的定义不难理解, 当 $|a|$ 为定值时, $a\cdot b$ 的取值范围是由 $b$ 在 $a$ 上的投影数量 $|b|\cos ⟨a,b⟩$ 决定的, 请看下面例题:

例 3.15

(2020 新高考 I7) 已知 $P$ 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点, 则 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}$ 的取值范围是 ( ).

A. $(-2,6)$ B. $(-6,2)$ C. $(-2,4)$ D. $(-4,6)$

查看解析与步骤

如图 3-13所示， $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AB}|\cos ⟨\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}⟩$ ，它的几何意义是 $\overrightarrow{AP}$ 在向量 $\overrightarrow{AB}$ 方向上的投影数量与 $\overrightarrow{AB}$ 的长度的乘积，显然， $P$ 在 $C$ 处时，投影数量取得最大值，则

$$|\overrightarrow{A{C}_1}|=|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{B{C}_1}|=|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|\cos 60^{\circ }=3.$$

所以 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}<|\overrightarrow{A{C}_1}||\overrightarrow{AB}|=2\times 3=6$ . 同理, 在点 $F$ 处投影数量取得最小值为

图3-13

$$-|\overrightarrow{A{F}_1}|=|\overrightarrow{AF}|\cos 120^{\circ }=2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-1.$$

所以 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}>-|\overrightarrow{A{F}_1}||\overrightarrow{AB}|=-1\times 2=-2$ , 则 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}$ 的取值范围是 $(-2,6)$ . 故选 $A$.

数量积的几何意义指的是向量的投影问题, 这个投影就是我们常见的投影的数量, 而新教材中对于向量的投影问题新加了一个名词——投影向量.

知识点 3.7

设 $a,b$ 是两个非零向量, $a$ 与 $b$ 的夹角为 $\theta$ . 设 $e$ 是与 $b$ 方向相同的单位向量, 则向量 $a$ 在向量 $b$ 上的投影向量为 $|a|e\cos \theta =|a|\frac{b}{|b|}\cdot \cos \theta =\frac{a\cdot b}{|b|}\cdot \frac{b}{|b|}$ .

例 3.16

(2023 江苏统考) 已知向量 $a$ 与 $b$ 满足 $|a|=2,|b|=1,|a+b|=\sqrt{3}$ ，则向量 $a+b$ 在向量 $a$ 上的投影向量为（）. A. $-\frac{1}{4}a$ B. $\frac{1}{4}a$ C. $-\frac{3}{4}a$ D. $\frac{3}{4}a$

查看解析与步骤

因为 $|a+b|=\sqrt{3}$ , 所以 $a^2+2a\cdot b+b^2=3$ , 又由 $|a|=2$ , $|b|=1$ , 可知 $4+2a\cdot b+1=3$ , 从而可得 $a\cdot b=-1$ , 所以 $(a+b)\cdot a=a^2+a\cdot b=4-1=3$ . 设 $a+b$ 与 $a$ 的夹角为 $\alpha$ , 则$\cos \alpha =\frac{(a+b)\cdot a}{|a+b|\cdot |a|}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , 于是向量 $a+b$ 在向量 $a$ 上的投影向量为 $|a+b|\cdot \cos \alpha \cdot \frac{a}{|a|}=\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{3}{4}a$ , 故选 $D$.

变式 3.16.1

(2023 福建统考) 如图 3-14 所示, 动点 $C$ 在以 AB 为直径的半圆上 (异于 $A$, $B$), $\angle DCB=\frac{\pi }{2}$ , 且 DC = CB, 若 AB = 2, 则 $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}$ 的取值范围为 ____.

下面我们给出数量积坐标运算的相关知识点.

知识点 3.8

已知两个非零向量 $a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$ ，其中 $\alpha$ 为 $a$ 与 $b$ 的夹角，则(1） $|a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2};$ (2） $a\cdot b=x_1{x}_2+y_1{y}_2;$ (3） $a\perp b\iff x_1{x}_2+y_1{y}_2=0;$ (4） $\cos \alpha =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}}.$

例 3.17

（2023 衡阳统考 - 多选题）已知点 $A(1,2)$ , $B(3,1)$ , $C(4,m+1)$ , $m\in R$ ，则下列说法正确的是（）. A. $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5}$ B. 若 $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$ ，则 m = -2 C. 与向量 $\overrightarrow{AB}$ 同方向的单位向量坐标为 $\left(\frac{2\sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$ D. 若 $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}$ 的夹角为锐角，则 m < 2 且 $m\ne -\frac{1}{2}$

查看解析与步骤

因为 $A(1,2)$ , $B(3,1)$ , $C(4,m+1)$ , 所以 $\overrightarrow{AB}=(2,-1)$ , $\overrightarrow{BC}=(1,m)$ .

选项 $A$, 由向量模长公式可得 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{5}$ , 所以 $A$ 正确.

选项 $B$, 因为 $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$ , 所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ , 从而可得 2 - m = 0, 即 m = 2, 所以 $B$ 错误.

选项 $C$, 与向量 $\overrightarrow{AB}$ 同方向的单位向量为 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{(2,-1)}{\sqrt{5}}=\left(\frac{2\sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$ , 所以 $C$ 正确.

选项 $D$, 因为 $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}$ 的夹角为锐角, 且 $\overrightarrow{BA}=(-2,1)$ , 所以 $\{\begin{array}{rl}\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}& =m-2>0\\ -\frac{1}{2}\ne \frac{m}{1}& \end{array}$ ，解得 m > 2, 所以 $D$ 错误.

综上所述, 选 AC.

(1) 向量 $\overrightarrow{AB}$ 同方向的单位向量为 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$ , 反方向的单位向量为 $-\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$ .

(2) 若向量 $a$ 与 $b$ 的夹角为锐角, 则 $a\cdot b>0$ 且 $a$ 与 $b$ 不共线; 若向量 $a$ 与 $b$ 的夹角为钝角, 则 $a\cdot b<0$ 且 $a$ 与 $b$ 不共线.

例 3.18

(2022 新高考Ⅱ4) 已知 $a=(3,4)$ , $b=(1,0)$ , $c=a+tb$ , 若 $⟨a,c⟩=⟨b,c⟩$ , 则 t = ( ). A. -6 B. -5 C. 5 D. 6

查看解析与步骤

根据题意可得 $c=a+tb=(3,4)+t(1,0)=(3+t,4)$ ，由 $⟨a,c⟩=⟨b,c⟩$ ，可得 $\cos ⟨a,c⟩=\cos ⟨b,c⟩$ ，于是 $\frac{a\cdot c}{|a||c|}=\frac{b\cdot c}{|b||c|}$ ，即 $\frac{9+3t+16}{5|c|}=\frac{3+t}{|c|}$ ，解得 $t=5$ ，故选$C$.

例 3.19

(2021 新高考 I 10 - 多选题) 已知 $O$ 为坐标原点, 点 $P_1(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ , $P_2(\cos \beta ,-\sin \beta )$ , $P_3(\cos (\alpha +\beta ),\sin (\alpha +\beta ))$ , $A(1,0)$ , 则 ( ).
A. $|\overrightarrow{O{P}_1}|=|\overrightarrow{O{P}_2}|$ B. $|\overrightarrow{A{P}_1}|=|\overrightarrow{A{P}_2}|$ C. $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_3}=\overrightarrow{O{P}_1}\cdot \overrightarrow{O{P}_2}$ D. $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_1}=\overrightarrow{O{P}_2}\cdot \overrightarrow{O{P}_3}$

查看解析与步骤

由题意可知 $\overrightarrow{O{P}_1}=(\cos \alpha ,\sin \alpha ),\overrightarrow{O{P}_2}=(\cos \beta ,-\sin \beta ),\overrightarrow{O{P}_3}=(\cos (\alpha +\beta ),\sin (\alpha +\beta )),$ $\overrightarrow{OA}=(1,0),\overrightarrow{A{P}_1}=(\cos \alpha -1,\sin \alpha ),\overrightarrow{A{P}_2}=(\cos \beta -1,-\sin \beta )$ .

选项 $A$, $\left|\overrightarrow{O{P}_1}\right|=\sqrt{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }=1,\left|\overrightarrow{O{P}_2}\right|=\sqrt{{\cos }^2\beta +(-{\sin }^2\beta )}=1,$ 所以 $A$ 正确.

选项 $B$, 因为 $\left|\overrightarrow{A{P}_1}\right|=\sqrt{(\cos \alpha -1{)}^2+{\sin }^2\alpha }=\sqrt{2-2\cos \alpha },\left|\overrightarrow{A{P}_2}\right|=\sqrt{(\cos \beta -1{)}^2+{\sin }^2\beta }=\sqrt{2-2\cos \beta },$ 且 $\alpha$ 与 $\beta$ 不确定, 所以 $\left|\overrightarrow{A{P}_1}\right|=\left|\overrightarrow{A{P}_2}\right|$ 不一定成立, 故 $B$ 错误.

选项 $C$, 因为 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_3}=1\times \cos (\alpha +\beta )+0\times \sin (\alpha +\beta )=\cos (\alpha +\beta ),\overrightarrow{O{P}_1}\cdot \overrightarrow{O{P}_2}=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha +\beta )$ , 所以 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_3}=\overrightarrow{O{P}_1}\cdot \overrightarrow{O{P}_2}$ , 故 $C$ 正确.

选项$D$, 因为 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_1}=1\times \cos \alpha +0\times \sin \alpha =\cos \alpha ,\overrightarrow{O{P}_2}\cdot \overrightarrow{O{P}_3}=\cos \beta \cos (\alpha +\beta )-\sin \beta \sin (\alpha +\beta )=\cos (\alpha +2\beta )$ , 所以 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{O{P}_1}\ne \overrightarrow{O{P}_2}\cdot \overrightarrow{O{P}_3}$ , 故$D$错误.

综上所述, 选 AC.

变式 3.19.1

(2023 新高考 I 3) 已知向量 $\mathbf{a}=(1,1)$ , $\mathbf{b}=(1,-1)$ ，若 $(\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b})\perp (\mathbf{a}+\mu \mathbf{b})$ ，则（）. A. $\lambda +\mu =1$ B. $\lambda +\mu =-1$ C. $\lambda \mu =1$ D. $\lambda \mu =-1$