3.1.2 平面向量基本定理与坐标表示

在高中数学中, 能被称为基本定理的不多, 可见向量基本定理在向量中的地位, 内容如下所示:

平面向量基本定理

如果 $e_1,e_2$ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 $a$ ，有且只有一对实数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ ，使 $a={\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2$ ，其中 $\{e_1,e_2\}$ 是一组基底。

例 3.8

如图 3-5 所示, 在平行四边形 ABCD 中, $E$ 和 $F$ 分别是边 CD 和 BC 的中点, 若 $\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AE}+\mu \overrightarrow{AF}$ , 其中 $\lambda ,\mu \in R$ , 则 $\lambda +\mu =$ ____ .

图3-5

图3-6

图3-7

解析 1

分解法: 如图 3-6 所示, 过 $C$ 分别作 AF 和 AE 的平行线, 交 AE 于 $G$, AF 于 $H$, 得到平行四边形 AHCG, 则 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AH}=\lambda \overrightarrow{AE}+\mu \overrightarrow{AF}$ , 其中 $\lambda =\frac{|\overrightarrow{AG}|}{|\overrightarrow{AE}|},\mu =\frac{|\overrightarrow{AH}|}{|\overrightarrow{AF}|}$ .

如图 3-7所示, 设 $DC$ 和 $AF$ 的延长线交于点 $Q$ , 因为 $F$ 为 $BC$ 中点, $CF\parallel DA$ , 所以 $\frac{QC}{QD}=\frac{CF}{DA}=\frac{1}{2}$ , 又因为 $E$ 为 $CD$ 中点, $CH\parallel AE$ , 所以 $\lambda =\frac{AG}{AE}=\frac{CH}{AE}=\frac{QC}{EQ}=\frac{QC}{\frac{3}{4}QD}=\frac{2}{3}$ , 同理, $\mu =\frac{AH}{AF}=\frac{2}{3}$ . 因此 $\lambda +\mu =\frac{4}{3}$ .

除了分解法, 我们还可以利用向量加法和减法绕来绕去的特点, 采用回路法表示向量, 请看下面解法:

解析 2

回路法: 如图 3-5 所示, 因为 $E$ 和 $F$ 分别是边 CD 和 BC 的中点, 所以

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB},$$$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.$$

两式相加得 $2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC},$ 即 $\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AF},$ 所以 $\lambda +\mu =\frac{4}{3}.$ 故填 $\frac{4}{3}.$

我们知道在平面直角坐标系中, 每一个点都可以用一对有序实数 (即它的坐标) 表示, 那么对于直角坐标平面内的每一个向量, 同样可以用有序实数对来表示它的坐标.

知识点 3.3

1. 向量加法、减法、数乘向量 (1) 设 $\mathbf{a}=(x_1,y_1)$ , $\mathbf{b}=(x_2,y_2)$ ，则 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ , $\mathbf{a}-\mathbf{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$ , $\lambda \mathbf{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1).$ (2) 设 $A(x_1,y_1)$ , $B(x_2,y_2)$ , 则 $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ .
2. 平面向量共线 设 $\mathbf{a}=(x_1,y_1),\mathbf{b}=(x_2,y_2)$ ，其中 $b\ne 0$ ，则 $a\parallel b\iff x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ .

例 3.9

(2023 河南联考) 已知平面向量 $a=(-2,1)$ , $b=(3,2)$ ，且 $2a-c=b$ 。若 $(a-mc)\parallel (2b-a)$ ，则 m = ____.

查看解析与步骤

由 $a=(-2,1)$ , $b=(3,2)$ , 2a-c=b, 可得 $c=2a-b=(-4,2)-(3,2)=(-7,0)$ , 而 $a-mc=(-2,1)-m(-7,0)=(7m-2,1)$ , $2b-a=(6,4)-(-2,1)=(8,3)$ . 因为 $(a-mc)/(2b-a)$ , 所以 $3(7m-2)-1\times 8=0$ , 解得 $m=\frac{2}{3}$ , 故填 $\frac{2}{3}$ .

例 3.10

(2023 广东佛山统考) 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 点 $P$ 为单位圆上的任意一点, $M(3,0)$ , $N(-1,1)$ . 若 $\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OM}+\mu \overrightarrow{ON}$ , 则 $3\lambda +\mu$ 的最大值为 ____.

查看解析与步骤

因为点 $P$ 为单位圆上的任一点, 所以可设 $P(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ , 由 $\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OM}+\mu \overrightarrow{ON}=\lambda (3,0)+\mu (-1,1)=(3\lambda -\mu ,\mu )$ , 所以 $\{\begin{array}{rl}3\lambda -\mu & =\cos \alpha \\ \mu & =\sin \alpha \end{array}$ , 可得 $\{\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{1}{3}\cos \alpha +\frac{1}{3}\sin \alpha \\ \mu & =\sin \alpha \end{array}$ , 则

$$3\lambda +\mu =\sin \alpha +\cos \alpha +\sin \alpha =2\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{5}\sin (\alpha +\phi )⩽\sqrt{5},$$

其中 $\phi$ 为锐角, 且 $\tan \phi =\frac{1}{2}$ , 所以 $3\lambda +\mu$ 的最大值为 $\sqrt{5}$ , 故填 $\sqrt{5}$ .